Algèbre Exemples

$\tan^{2} (x) - \sec (x) = 1$

Étape 1

Réécrivez $\tan^{2} (x) - \sec (x)$ comme une différence de carrés.

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (x)$ et $b = \sqrt{\sec (x)}$ .

$(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$

Étape 3

Résolvez $\sqrt{\sec (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Simplifiez $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1

Développez $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)})$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.1

Associez les termes opposés dans $\tan (x) \tan (x) + \tan (x) (- \sqrt{\sec (x)}) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.1.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $\tan (x) (- \sqrt{\sec (x)})$ et $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) - \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.1.2

Additionnez $- \sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ et $\sqrt{\sec (x)} \tan (x)$ .

$\tan (x) \tan (x) + 0 + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.1.3

Additionnez $\tan (x) \tan (x)$ et $0$ .

$\tan (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.2.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.2.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.2.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.2.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${\tan (x)}^{1 + 1} + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.2.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\tan^{2} (x) + \sqrt{\sec (x)} (- \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\tan^{2} (x) - \sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)} = 1$

Étape 3.1.1.2.2.3

Multipliez $\sqrt{\sec (x)}$ par $\sqrt{\sec (x)}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1.2.2.3.1

Déplacez $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - (\sqrt{\sec (x)} \sqrt{\sec (x)}) = 1$

Étape 3.1.1.2.2.3.2

Multipliez $\sqrt{\sec (x)}$ par $\sqrt{\sec (x)}$ .

$\tan^{2} (x) - {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1$

Étape 3.2

Soustrayez $\tan^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ par $- 1$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- {\sqrt{\sec (x)}}^{2} = 1 - \tan^{2} (x)$ par $- 1$ .

$\frac{- {\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{\sqrt{\sec (x)}}^{2}}{1} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez ${\sqrt{\sec (x)}}^{2}$ par $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = \frac{1}{- 1} + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{- \tan^{2} (x)}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \frac{\tan^{2} (x)}{1}$

Étape 3.3.3.1.3

Divisez $\tan^{2} (x)$ par $1$ .

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = - 1 + \tan^{2} (x)$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- 1 + \tan^{2} (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{- 1^{2} + \tan^{2} (x)}$

Étape 3.5.1.2

Remettez dans l’ordre $- 1^{2}$ et $\tan^{2} (x)$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{\tan^{2} (x) - 1^{2}}$

Étape 3.5.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \tan (x)$ et $b = 1$ .

$\sqrt{\sec (x)} = \pm \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}, - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$

Étape 4

Résolvez $x$ dans $\sqrt{\sec (x)} = \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sec (x)}$ comme ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1

Simplifiez ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 4.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sec^{1} (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 4.2.2.1.2

Simplifiez

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 4.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1

Simplifiez ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1

Réécrivez ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ comme $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ comme ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 4.2.3.1.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 4.2.3.1.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 4.2.3.1.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Étape 4.2.3.1.1.5

Simplifiez

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Étape 4.2.3.1.2

Développez $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Étape 4.2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Étape 4.2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.3.1.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.3.1.3.1.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 \tan (x)$ comme $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3.1.4

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 4.2.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Étape 4.2.3.1.3.2

Additionnez $- \tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Étape 4.2.3.1.3.3

Additionnez $\tan^{2} (x)$ et $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Étape 4.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Soustrayez $\tan^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Étape 4.3.2

Remplacez le $- \tan^{2} (x)$ par $- (\sec^{2} (x) - 1)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Étape 4.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Étape 4.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Étape 4.3.4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Étape 4.3.5

Remplacez $\sec (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Étape 4.3.6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Étape 4.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Étape 4.3.8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + u + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Étape 4.3.8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Étape 4.3.8.1.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 4.3.8.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 4.3.8.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Étape 4.3.8.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.2.1

Factorisez $u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 4.3.8.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Étape 4.3.8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 4.3.9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 4.3.10

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.10.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 4.3.10.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 4.3.11

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.11.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 4.3.11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 4.3.12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 2) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 2, - 1$

Étape 4.3.13

Remplacez $u$ par $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Étape 4.3.14

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Étape 4.3.15

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.15.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (2)$

Étape 4.3.15.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.15.2.1

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 4.3.15.3

La fonction sécante est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 4.3.15.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.15.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 4.3.15.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.15.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 4.3.15.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 4.3.15.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.15.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 4.3.15.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 4.3.15.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.15.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.3.15.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.3.15.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.3.15.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.3.15.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.3.16

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.16.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- 1)$

Étape 4.3.16.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.16.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 4.3.16.3

La fonction sécante est négative dans les deuxième et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π - π$

Étape 4.3.16.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 4.3.16.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.16.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 4.3.16.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 4.3.16.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 4.3.16.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 4.3.16.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.3.17

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4.3.18

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 5

Résolvez $x$ dans $\sqrt{\sec (x)} = - \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{\sec (x)}}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{\sec (x)}$ comme ${\sec (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1

Simplifiez ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({\sec (x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${\sec (x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Étape 5.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\sec^{1} (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez

$\sec (x) = {(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Simplifiez ${(- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1

Simplifiez en annulant l’exposant avec un radical.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ .

$\sec (x) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\sec (x) = 1 {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 5.2.3.1.1.2.2

Multipliez ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ par $1$ .

$\sec (x) = {\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$

Étape 5.2.3.1.1.3

Réécrivez ${\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}}^{2}$ comme $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)}$ comme ${((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec (x) = {({((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 5.2.3.1.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 5.2.3.1.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.2.3.1.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$\sec (x) = {((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1))}^{1}$

Étape 5.2.3.1.1.3.5

Simplifiez

$\sec (x) = (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$

Étape 5.2.3.1.2

Développez $(\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) = \tan (x) (\tan (x) - 1) + 1 (\tan (x) - 1)$

Étape 5.2.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 (\tan (x) - 1)$

Étape 5.2.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) = \tan (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.3.1.1

Multipliez $\tan (x) \tan (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1.3.1.1.1

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3.1.1.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$\sec (x) = \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\sec (x) = {\tan (x)}^{1 + 1} + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1 \cdot \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 \tan (x)$ comme $- \tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + 1 \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3.1.4

Multipliez $\tan (x)$ par $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) + 1 \cdot - 1$

Étape 5.2.3.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - \tan (x) + \tan (x) - 1$

Étape 5.2.3.1.3.2

Additionnez $- \tan (x)$ et $\tan (x)$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) + 0 - 1$

Étape 5.2.3.1.3.3

Additionnez $\tan^{2} (x)$ et $0$ .

$\sec (x) = \tan^{2} (x) - 1$

Étape 5.3

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Soustrayez $\tan^{2} (x)$ des deux côtés de l’équation.

$\sec (x) - \tan^{2} (x) = - 1$

Étape 5.3.2

Remplacez le $- \tan^{2} (x)$ par $- (\sec^{2} (x) - 1)$ d’après l’identité $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$\sec (x) - (\sec^{2} (x) - 1) = - 1$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Étape 5.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\sec (x) - \sec^{2} (x) + 1 = - 1$

Étape 5.3.4

Remettez le polynôme dans l’ordre.

$- \sec^{2} (x) + \sec (x) + 1 = - 1$

Étape 5.3.5

Remplacez $\sec (x)$ par $u$ .

$- {(u)}^{2} + u + 1 = - 1$

Étape 5.3.6

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- u^{2} + u + 1 + 1 = 0$

Étape 5.3.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Étape 5.3.8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} + u + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2}$ .

$- u^{2} + u + 2 = 0$

Étape 5.3.8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $u$ .

$- u^{2} - 1 (- u) + 2 = 0$

Étape 5.3.8.1.3

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- u^{2} - 1 (- u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 5.3.8.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- u^{2} - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - 1 \cdot - 2 = 0$

Étape 5.3.8.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (u^{2} - u) - 1 (- 2)$ .

$- (u^{2} - u - 2) = 0$

Étape 5.3.8.2

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.2.1

Factorisez $u^{2} - u - 2$ à l’aide de la méthode AC.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 5.3.8.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((u - 2) (u + 1)) = 0$

Étape 5.3.8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (u - 2) (u + 1) = 0$

Étape 5.3.9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 1 = 0$

Étape 5.3.10

Définissez $u - 2$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.10.1

Définissez $u - 2$ égal à $0$ .

$u - 2 = 0$

Étape 5.3.10.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 2$

Étape 5.3.11

Définissez $u + 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.11.1

Définissez $u + 1$ égal à $0$ .

$u + 1 = 0$

Étape 5.3.11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 1$

Étape 5.3.12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (u - 2) (u + 1) = 0$ vraie.

$u = 2, - 1$

Étape 5.3.13

Remplacez $u$ par $\sec (x)$ .

$\sec (x) = 2, - 1$

Étape 5.3.14

Définissez chacune des solutions à résoudre pour $x$ .

$\sec (x) = 2$

$\sec (x) = - 1$

Étape 5.3.15

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.15.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (2)$

Étape 5.3.15.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.15.2.1

La valeur exacte de $arcsec (2)$ est $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Étape 5.3.15.3

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Étape 5.3.15.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.15.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.3.15.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.15.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Étape 5.3.15.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Étape 5.3.15.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.15.4.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Étape 5.3.15.4.3.2

Soustrayez $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Étape 5.3.15.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.15.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.3.15.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3.15.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.3.15.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.3.15.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.3.16

Résolvez $x$ dans $\sec (x) = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.16.1

Prenez la sécante inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur de la sécante.

$x = arcsec (- 1)$

Étape 5.3.16.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.16.2.1

La valeur exacte de $arcsec (- 1)$ est $π$ .

$x = π$

Étape 5.3.16.3

$x = 2 π - π$

Étape 5.3.16.4

Soustrayez $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Étape 5.3.16.5

Déterminez la période de $\sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.16.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 5.3.16.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 5.3.16.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 5.3.16.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 5.3.16.6

La période de la fonction $\sec (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.3.17

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5.3.18

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Indiquez toutes les solutions.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Excluez les solutions qui ne rendent pas $(\tan (x) + \sqrt{\sec (x)}) (\tan (x) - \sqrt{\sec (x)}) = 1$ vrai.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , pour tout entier $n$