Algèbre Exemples

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 = \frac{7}{12}$

Étape 1

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{7}{12}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12} = 0$

Étape 1.2

Simplifiez $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + 1 - \frac{7}{12}$ .

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Étape 1.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12}{12} - \frac{7}{12} = 0$

Étape 1.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{12 - 7}{12} = 0$

Étape 1.2.3

Soustrayez $7$ de $12$ .

$\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, x, 12, 1$

Étape 2.2

Comme $x^{2}, x, 12, 1$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 12, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{2}, x^{1}$ .

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.5

Les facteurs premiers pour $12$ sont $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 2.5.1

$12$ a des facteurs de $2$ et $6$ .

$2 \cdot 6$

Étape 2.5.2

$6$ a des facteurs de $2$ et $3$ .

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 2.6

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 12, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$2 \cdot 2 \cdot 3$

Étape 2.8

Multipliez $2 \cdot 2 \cdot 3$ .

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Étape 2.8.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \cdot 3$

Étape 2.8.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$12$

Étape 2.9

Les facteurs pour $x^{2}$ sont $x \cdot x$ , qui correspond à $x$ multipliés entre eux $2$ fois.

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ se produit $2$ fois.

Étape 2.10

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x^{1} = x$

$x$ se produit $1$ fois.

Étape 2.11

Le plus petit multiple commun de $x^{2}, x^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot x$

Étape 2.12

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2}$

Étape 2.13

Le plus petit multiple commun pour $x^{2}, x, 12, 1$ est la partie numérique $12$ multipliée par la partie variable.

$12 x^{2}$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ par $12 x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} + \frac{5}{12} = 0$ par $12 x^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (12 x^{2}) + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{1}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{x^{2}} x^{2} + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$12 + \frac{1}{x} (12 x^{2}) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 + 12 \frac{1}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.5

Associez $12$ et $\frac{1}{x}$ .

$12 + \frac{12}{x} x^{2} + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.6

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1.6.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.6.2

Annulez le facteur commun.

$12 + \frac{12}{x} (x \cdot x) + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.6.3

Réécrivez l’expression.

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.7

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.2.1.7.1

Factorisez $12$ à partir de $12 x^{2}$ .

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 (x^{2})) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.7.2

Annulez le facteur commun.

$12 + 12 x + \frac{5}{12} (12 x^{2}) = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.2.1.7.3

Réécrivez l’expression.

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 (12 x^{2})$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez $0 (12 x^{2})$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $12$ par $0$ .

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$12 + 12 x + 5 x^{2} = 0$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2

Remplacez les valeurs $a = 5$ , $b = 12$ et $c = 12$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 12 \pm \sqrt{12^{2} - 4 \cdot (5 \cdot 12)}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3

Simplifiez

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Étape 4.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 4 \cdot 5 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 5 \cdot 12$ .

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Étape 4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 20 \cdot 12}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.2.2

Multipliez $- 20$ par $12$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{144 - 240}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.3

Soustrayez $240$ de $144$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 96}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.4

Réécrivez $- 96$ comme $- 1 (96)$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1 \cdot 96}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (96)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}$ .

$x = \frac{- 12 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{96}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.7

Réécrivez $96$ comme $4^{2} \cdot 6$ .

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Étape 4.3.1.7.1

Factorisez $16$ à partir de $96$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{16 (6)}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.7.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot \sqrt{4^{2} \cdot 6}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 12 \pm i \cdot (4 \sqrt{6})}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{2 \cdot 5}$

Étape 4.3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$x = \frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$

Étape 4.3.3

Simplifiez $\frac{- 12 \pm 4 i \sqrt{6}}{10}$ .

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$

Étape 4.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{6 - 2 i \sqrt{6}}{5}, - \frac{6 + 2 i \sqrt{6}}{5}$

$x = \frac{- 6 \pm 2 i \sqrt{6}}{5}$