Algèbre Exemples

$- x^{3} + 6 x^{2} - 12 x + 8$

Étape 1

Regroupez les termes.

$- x^{3} + 8 + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3} + 8$ .

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Étape 2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 8 + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 2.2

Réécrivez $8$ comme $- 1 (- 8)$ .

$- (x^{3}) - 1 (- 8) + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - 1 (- 8)$ .

$- (x^{3} - 8) + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$- (x^{3} - 2^{3}) + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- ((x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})) + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 5

Factorisez.

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Étape 5.1

Simplifiez

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Étape 5.1.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})) + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- ((x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)) + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x^{2} - 12 x$

Étape 6

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2} - 12 x$ .

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Étape 6.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x) - 12 x$

Étape 6.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 12 x$ .

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x) + 6 x (- 2)$

Étape 6.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x) + 6 x (- 2)$ .

$- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x - 2)$

Étape 7

Factorisez $x - 2$ à partir de $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x (x - 2)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x - 2$ à partir de $- (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ .

$(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + 6 x (x - 2)$

Étape 7.2

Factorisez $x - 2$ à partir de $6 x (x - 2)$ .

$(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (6 x)$

Étape 7.3

Factorisez $x - 2$ à partir de $(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4)) + (x - 2) (6 x)$ .

$(x - 2) (- 1 (x^{2} + 2 x + 4) + 6 x)$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (- 1 x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 6 x)$

Étape 9

Simplifiez

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Étape 9.1

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$(x - 2) (- x^{2} - 1 (2 x) - 1 \cdot 4 + 6 x)$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x - 2) (- x^{2} - 2 x - 1 \cdot 4 + 6 x)$

Étape 9.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(x - 2) (- x^{2} - 2 x - 4 + 6 x)$

Étape 10

Additionnez $- 2 x$ et $6 x$ .

$(x - 2) (- x^{2} + 4 x - 4)$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 11.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot - 4 = 4$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 11.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$(x - 2) (- x^{2} + 4 (x) - 4)$

Étape 11.1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2$ plus $2$

$(x - 2) (- x^{2} + (2 + 2) x - 4)$

Étape 11.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 2) (- x^{2} + 2 x + 2 x - 4)$

Étape 11.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 11.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 2) ((- x^{2} + 2 x) + 2 x - 4)$

Étape 11.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 2) (x (- x + 2) - 2 (- x + 2))$

Étape 11.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x + 2$ .

$(x - 2) ((- x + 2) (x - 2))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 2) (- x + 2) (x - 2)$

Étape 12

Associez les exposants.

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Étape 12.1

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$(- 1 (- x) - 2) (- x + 2) (x - 2)$

Étape 12.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$(- 1 (- x) - 1 (2)) (- x + 2) (x - 2)$

Étape 12.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- x) - 1 (2)$ .

$- 1 (- x + 2) (- x + 2) (x - 2)$

Étape 12.4

Élevez $- x + 2$ à la puissance $1$ .

$- 1 ({(- x + 2)}^{1} (- x + 2)) (x - 2)$

Étape 12.5

Élevez $- x + 2$ à la puissance $1$ .

$- 1 ({(- x + 2)}^{1} {(- x + 2)}^{1}) (x - 2)$

Étape 12.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(- x + 2)}^{1 + 1} (x - 2)$

Étape 12.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$- 1 {(- x + 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 12.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$- 1 {(- (x) + 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 12.9

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- 1 {(- (x) - 1 (- 2))}^{2} (x - 2)$

Étape 12.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$- 1 {(- (x - 2))}^{2} (x - 2)$

Étape 12.11

Réécrivez $- (x - 2)$ comme $- 1 (x - 2)$ .

$- 1 {(- 1 (x - 2))}^{2} (x - 2)$

Étape 12.12

Appliquez la règle de produit à $- 1 (x - 2)$ .

$- 1 ({(- 1)}^{2} {(x - 2)}^{2}) (x - 2)$

Étape 12.13

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 (1 {(x - 2)}^{2}) (x - 2)$

Étape 12.14

Multipliez ${(x - 2)}^{2}$ par $1$ .

$- 1 {(x - 2)}^{2} (x - 2)$

Étape 12.15

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$- 1 ({(x - 2)}^{1} {(x - 2)}^{2})$

Étape 12.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 {(x - 2)}^{1 + 2}$

Étape 12.17

Additionnez $1$ et $2$ .

$- 1 {(x - 2)}^{3}$