Algèbre Exemples

$x + \frac{1}{x} \geq 2$

Étape 1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x, 1$

Étape 1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 2

Multiplier chaque terme dans $x + \frac{1}{x} \geq 2$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme dans $x + \frac{1}{x} \geq 2$ par $x$ .

$x \cdot x + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Étape 2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{1}{x} x \geq 2 x$

Étape 2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + 1 \geq 2 x$

Étape 3

Résolvez l’inégalité.

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Étape 3.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’inégalité.

$x^{2} + 1 - 2 x \geq 0$

Étape 3.2

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 1 - 2 x = 0$

Étape 3.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.3.1

Réorganisez les termes.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Étape 3.3.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Étape 3.3.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 3.3.4

Réécrivez le polynôme.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Étape 3.3.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 3.4

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 3.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 4

Déterminez le domaine de $x + \frac{1}{x} - 2$ .

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Étape 4.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 4.2

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 5

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Étape 6

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 6.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < 0$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 6.1.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

$(- 2) + \frac{1}{- 2} \geq 2$

Étape 6.1.3

Le côté gauche $- 2.5$ est inférieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 6.2

Testez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $0 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0.5$

Étape 6.2.2

Remplacez $x$ par $0.5$ dans l’inégalité d’origine.

$(0.5) + \frac{1}{0.5} \geq 2$

Étape 6.2.3

Le côté gauche $2.5$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 6.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 6.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$(4) + \frac{1}{4} \geq 2$

Étape 6.3.3

Le côté gauche $4.25$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 6.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

$x < 0$ Faux

$0 < x < 1$ Vrai

$x > 1$ Vrai

Étape 7

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$0 < x \leq 1$ ou $x \geq 1$

Étape 8

Associez les intervalles.

$x > 0$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x > 0$

Notation d’intervalle :

$(0, \infty)$

Étape 10