Algèbre Exemples

$\log_{2} (4 x^{2} + 7) - \log_{2} (2 x + 5) = 3$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}) = 3$

Étape 2

Réécrivez $\log_{2} (\frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}) = 3$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{3} = \frac{4 x^{2} + 7}{2 x + 5}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$4 x^{2} + 7 = 2^{3} (2 x + 5)$

Étape 4

Simplifiez $2^{3} (2 x + 5)$ .

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Étape 4.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$4 x^{2} + 7 = 8 (2 x + 5)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 7 = 8 (2 x) + 8 \cdot 5$

Étape 4.3

Multipliez.

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Étape 4.3.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$4 x^{2} + 7 = 16 x + 8 \cdot 5$

Étape 4.3.2

Multipliez $8$ par $5$ .

$4 x^{2} + 7 = 16 x + 40$

Étape 5

Soustrayez $16 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} + 7 - 16 x = 40$

Étape 6

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Étape 6.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Étape 6.2.2

Réécrivez $- 16$ comme $- 2$ plus $- 14$

$4 x^{2} + (- 2 - 14) x + 7 = 40$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 2 x - 14 x + 7 = 40$

Étape 6.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 x^{2} - 2 x) - 14 x + 7 = 40$

Étape 6.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (2 x - 1) - 7 (2 x - 1) = 40$

Étape 6.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (2 x - 7) = 40$

Étape 7

Simplifiez $(2 x - 1) (2 x - 7)$ .

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Étape 7.1

Développez $(2 x - 1) (2 x - 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x - 7) - 1 (2 x - 7) = 40$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x - 7) = 40$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 x (2 x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Étape 7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Étape 7.2.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.2.1.2.1

Déplacez $x$ .

$2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Étape 7.2.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Étape 7.2.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 2 x \cdot - 7 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 7$ par $2$ .

$4 x^{2} - 14 x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 7 = 40$

Étape 7.2.1.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 x^{2} - 14 x - 2 x - 1 \cdot - 7 = 40$

Étape 7.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$4 x^{2} - 14 x - 2 x + 7 = 40$

Étape 7.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- 14 x$ .

$4 x^{2} - 16 x + 7 = 40$

Étape 8

Soustrayez $40$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 16 x + 7 - 40 = 0$

Étape 9

Soustrayez $40$ de $7$ .

$4 x^{2} - 16 x - 33 = 0$

Étape 10

Factorisez par regroupement.

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Étape 10.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 33 = - 132$ et dont la somme est $b = - 16$ .

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Étape 10.1.1

Factorisez $- 16$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x^{2} - 16 x - 33 = 0$

Étape 10.1.2

Réécrivez $- 16$ comme $6$ plus $- 22$

$4 x^{2} + (6 - 22) x - 33 = 0$

Étape 10.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 6 x - 22 x - 33 = 0$

Étape 10.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 10.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 x^{2} + 6 x) - 22 x - 33 = 0$

Étape 10.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$2 x (2 x + 3) - 11 (2 x + 3) = 0$

Étape 10.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 3$ .

$(2 x + 3) (2 x - 11) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

$2 x - 11 = 0$

Étape 12

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $2 x + 3$ égal à $0$ .

$2 x + 3 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $2 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 3$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 3$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 3}{2}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{2}$

Étape 12.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{2}$

Étape 13

Définissez $2 x - 11$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $2 x - 11$ égal à $0$ .

$2 x - 11 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $2 x - 11 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $11$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 11$

Étape 13.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 11$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 13.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 11$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Étape 13.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 13.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 13.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{11}{2}$

Étape 13.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{11}{2}$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 3) (2 x - 11) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{2}, \frac{11}{2}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{3}{2}, \frac{11}{2}$

Forme décimale :

$x = - 1.5, 5.5$

Forme de nombre mixte :

$x = - 1 \frac{1}{2}, 5 \frac{1}{2}$