Algèbre Exemples

$\frac{3 x^{2} - 1}{x^{2} - 3 x - 18} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Étape 1

Factorisez $x^{2} - 3 x - 18$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 18$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 6, 3$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6}$

Étape 2

Pour écrire $- \frac{x + 2}{x - 6}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{x + 2}{x - 6} \cdot \frac{x + 3}{x + 3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{x + 2}{x - 6}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$\frac{3 x^{2} - 1}{(x - 6) (x + 3)} - \frac{(x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x + 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 1 \cdot 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 + (- x - 2) (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.3

Développez $(- x - 2) (x + 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x (x + 3) - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 (x + 3)}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 x^{2} - 1 - x \cdot x - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - (x \cdot x) - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - x \cdot 3 - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.4.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 2 \cdot 3}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 3 x - 2 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $2 x$ de $- 3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 1 - x^{2} - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.5

Soustrayez $x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2} - 1 - 5 x - 6}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.6

Soustrayez $6$ de $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 4.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ et dont la somme est $b = - 5$ .

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Étape 4.7.1.1

Factorisez $- 5$ à partir de $- 5 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 5 (x) - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.7.1.2

Réécrivez $- 5$ comme $2$ plus $- 7$

$\frac{2 x^{2} + (2 - 7) x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 2 x - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 4.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) - 7 x - 7}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{2 x (x + 1) - 7 (x + 1)}{(x - 6) (x + 3)}$

Étape 4.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x - 7)}{(x - 6) (x + 3)}$