Algèbre Exemples

$f (x) < {(x - 1)}^{2} - 1$

Étape 1

Résolvez $y$ .

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Étape 1.1

Simplifiez ${(x - 1)}^{2} - 1$ .

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Étape 1.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.1

Réécrivez ${(x - 1)}^{2}$ comme $(x - 1) (x - 1)$ .

$f (x) < (x - 1) (x - 1) - 1$

Étape 1.1.1.2

Développez $(x - 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.1.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) < x (x - 1) - 1 (x - 1) - 1$

Étape 1.1.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1) - 1$

Étape 1.1.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (x) < x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (x) < x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.1.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f (x) < x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.1.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.1.1.3.1.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f (x) < x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1 - 1$

Étape 1.1.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f (x) < x^{2} - x - x + 1 - 1$

Étape 1.1.1.3.2

Soustrayez $x$ de $- x$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 1 - 1$

Étape 1.1.2

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 2 x + 1 - 1$ .

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Étape 1.1.2.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x + 0$

Étape 1.1.2.2

Additionnez $x^{2} - 2 x$ et $0$ .

$f (x) < x^{2} - 2 x$

Étape 1.2

Soustrayez $f (x)$ des deux côtés de l’inégalité.

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Étape 2

Déterminez la pente et l’ordonnée à l’origine de la ligne séparatrice.

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Étape 2.1

Réécrivez en forme affine.

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Étape 2.1.1

La forme affine est $y = m x + b$ , où $m$ est la pente et $b$ est l’ordonnée à l’origine.

$y = m x + b$

Étape 2.1.2

Réécrivez de sorte que $x$ soit du côté gauche de l’inégalité.

$x^{2} - 2 x - f (x) > 0$

Étape 2.1.3

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} - 2 x - f (x) = 0$

Étape 2.1.4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.1.5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = - f (x)$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- f (x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6

Simplifiez

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Étape 2.1.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.6.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.1.3

Réécrivez $4 + 4 f (x)$ comme $2^{2} (1 + f (x))$ .

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Étape 2.1.6.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.1.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Étape 2.1.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Étape 2.1.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.1.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.7.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.1.3

Réécrivez $4 + 4 f (x)$ comme $2^{2} (1 + f (x))$ .

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Étape 2.1.7.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.1.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Étape 2.1.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Étape 2.1.7.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}$

Étape 2.1.8

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.1.8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.8.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 2.1.8.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 1 f x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.1.3

Réécrivez $4 + 4 f (x)$ comme $2^{2} (1 + f (x))$ .

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Étape 2.1.8.1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.1.3.2

Factorisez $4$ à partir de $4 f (x)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.1.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (1) + 4 (f (x))$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.1.3.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + f (x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.1.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.1.8.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$

Étape 2.1.8.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + f (x)}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{1 + f (x)}$

Étape 2.1.8.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Étape 2.1.9

Consolidez les solutions.

$x = 1 + \sqrt{1 + f (x)}, 1 - \sqrt{1 + f (x)}$

Étape 2.2

L’équation n’est pas linéaire, si bien qu’il n’existe pas de la pente constante.

Pas linéaire

Étape 3

Représentez une droite tiretée, puis ombrez la surface sous la ligne séparatrice étant donné que $y$ est inférieur à $x^{2} - 2 x - f (x)$ .

$0 < x^{2} - 2 x - f (x)$

Étape 4