Algèbre Exemples

$r^{2} - 2 r \sin (θ) = 0$

Étape 1

Comme $\sin (θ) = \frac{y}{r}$ , remplacez $\sin (θ)$ par $\frac{y}{r}$ .

$r^{2} - 2 r \frac{y}{r} = 0$

Étape 2

Comme $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ , remplacez $r^{2}$ par $x^{2} + y^{2}$ et $r$ par $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

$x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{x^{2} + y^{2}} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} = 0$

Étape 3

Écrivez en forme normalisée

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Étape 3.1

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(x^{2} + y^{2} - 2 \sqrt{x^{2} + y^{2}} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.2.1

Simplifiez ${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2}$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1.1.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} (\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}))}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1.1.2.1

Multipliez $\frac{y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ par $\frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{x^{2} + y^{2}} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.2

Élevez $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} \sqrt{x^{2} + y^{2}}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.3

Élevez $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ à la puissance $1$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1} {\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{1 + 1}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.6

Réécrivez ${\sqrt{x^{2} + y^{2}}}^{2}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{{(x^{2} + y^{2})}^{1}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.2.6.5

Simplifiez

${(x^{2} + y^{2} - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3

Multipliez $- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1.3.1

Associez $\frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x^{2} + y^{2}}$ et $- 2$ .

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot - 2}{x^{2} + y^{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3.2

Associez $\frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot - 2}{x^{2} + y^{2}}$ et ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \sqrt{x^{2} + y^{2}} \cdot - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3.3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{2} + y^{2}}$ comme ${(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \cdot - 2 ({(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \cdot - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \cdot - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3.6

Additionnez $1$ et $1$ .

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \cdot - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.2.1.1.3.7.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \cdot - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{\frac{2}{2}}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.3.7.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{2} + y^{2} + \frac{y \cdot - 2 {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.4

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

${(x^{2} + y^{2} + \frac{- 2 \cdot y {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

${(x^{2} + y^{2} - \frac{2 y {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.2

Pour écrire $x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

${(y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}} - \frac{2 y {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 y {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.2.2.1.4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${(y^{2} + \frac{x^{2} x^{2} + x^{2} y^{2} - 2 y {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.2.1.4.1.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(y^{2} + \frac{x^{2 + 2} + x^{2} y^{2} - 2 y {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

${(y^{2} + \frac{x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y {(x^{2} + y^{2})}^{1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.3

Simplifiez

${(y^{2} + \frac{x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

${(y^{2} + \frac{x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y x^{2} - 2 y \cdot y^{2}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.5

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.2.1.4.1.5.1

Déplacez $y^{2}$ .

${(y^{2} + \frac{x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y x^{2} - 2 (y^{2} y)}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.5.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 3.1.2.2.1.4.1.5.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

${(y^{2} + \frac{x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y x^{2} - 2 (y^{2} y^{1})}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

${(y^{2} + \frac{x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y x^{2} - 2 y^{2 + 1}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.5.3

Additionnez $2$ et $1$ .

${(y^{2} + \frac{x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y x^{2} - 2 y^{3}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.6

Réécrivez $x^{4} + x^{2} y^{2} - 2 y x^{2} - 2 y^{3}$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.2.2.1.4.1.6.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.1.2.2.1.4.1.6.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

${(y^{2} + \frac{(x^{4} + x^{2} y^{2}) - 2 y x^{2} - 2 y^{3}}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.6.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

${(y^{2} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - 2 y (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.1.6.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x^{2} + y^{2}$ .

${(y^{2} + \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 3.1.2.2.1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y^{2} + \frac{(x^{2} + y^{2}) (x^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2}})}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.2.1.4.2.2

Divisez $x^{2} - 2 y$ par $1$ .

${(y^{2} + x^{2} - 2 y)}^{2} = 0^{2}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(y^{2} + x^{2} - 2 y)}^{2} = 0$

Étape 3.1.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1.3.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y^{2} + x^{2} - 2 y = \pm \sqrt{0}$

Étape 3.1.3.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 3.1.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 y = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.1.3.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y^{2} + x^{2} - 2 y = \pm 0$

Étape 3.1.3.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$y^{2} + x^{2} - 2 y = 0$

Étape 3.1.3.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.1.3.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = x^{2}$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot x^{2})}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez

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Étape 3.1.3.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.5.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.5.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2 + 2 x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 + 2 x$ .

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Étape 3.1.3.5.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(2 \cdot - 1 + 2 x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.3.5.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 - 2 x$ .

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Étape 3.1.3.5.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) \cdot (2 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.6

Réécrivez $4 (- 1 + x) (- 1 - x)$ comme $2^{2} ((- 1 + x) (- 1 - x))$ .

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Étape 3.1.3.5.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- 1 + x) (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2}$

Étape 3.1.3.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.6.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.6.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2 + 2 x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 + 2 x$ .

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Étape 3.1.3.6.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(2 \cdot - 1 + 2 x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.3.6.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 - 2 x$ .

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Étape 3.1.3.6.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) \cdot (2 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.6

Réécrivez $4 (- 1 + x) (- 1 - x)$ comme $2^{2} ((- 1 + x) (- 1 - x))$ .

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Étape 3.1.3.6.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- 1 + x) (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2}$

Étape 3.1.3.6.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

Étape 3.1.3.6.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$y = 1 + \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 3.1.3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.3.7.1.1

Réécrivez $4 \cdot 1 \cdot x^{2}$ comme ${(2 \cdot 1 x)}^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - {(2 \cdot (1 x))}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = - 2$ et $b = 2 \cdot 1 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2 + 2 \cdot (1 x)) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.3

Simplifiez

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Étape 3.1.3.7.1.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2 + 2 x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 + 2 x$ .

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Étape 3.1.3.7.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{(2 \cdot - 1 + 2 x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - (2 \cdot (1 x)))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.3.3

Associez les exposants.

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Étape 3.1.3.7.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - (2 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.3.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (- 2 - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2 - 2 x$ .

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Étape 3.1.3.7.1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1) - 2 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1) + 2 (- x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 1) + 2 (- x)$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) (2 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2 (- 1 + x) \cdot (2 (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.5

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.6

Réécrivez $4 (- 1 + x) (- 1 - x)$ comme $2^{2} ((- 1 + x) (- 1 - x))$ .

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Étape 3.1.3.7.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.6.2

Ajoutez des parenthèses.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} ((- 1 + x) (- 1 - x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2}$

Étape 3.1.3.7.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

Étape 3.1.3.7.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$y = 1 - \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

Étape 3.1.3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 1 + \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 - \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 + \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 - \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 + \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 - \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

Étape 3.2

Pour écrire un polynôme en forme normalisée, simplifiez puis classez les termes par ordre décroissant.

$y = a x^{2} + b x + c$

Étape 3.3

La forme normalisée est $1 + \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}, 1 - \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$ .

$y = 1 + \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 - \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 + \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

$y = 1 - \sqrt{(- 1 + x) (- 1 - x)}$

Étape 4