Algèbre Exemples

$\log (x^{2} y^{3} \sqrt[3]{x^{2} y^{5}})$

Étape 1

Réécrivez $\log (x^{2} y^{3} \sqrt[3]{x^{2} y^{5}})$ comme $\log (x^{2} y^{3}) + \log (\sqrt[3]{x^{2} y^{5}})$ .

$\log (x^{2} y^{3}) + \log (\sqrt[3]{x^{2} y^{5}})$

Étape 2

Réécrivez $\log (x^{2} y^{3})$ comme $\log (x^{2}) + \log (y^{3})$ .

$\log (x^{2}) + \log (y^{3}) + \log (\sqrt[3]{x^{2} y^{5}})$

Étape 3

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2} y^{5}}$ comme ${(x^{2} y^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\log (x^{2}) + \log (y^{3}) + \log ({(x^{2} y^{5})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 4

Développez $\log (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 \log (x) + \log (y^{3}) + \log ({(x^{2} y^{5})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 5

Développez $\log (y^{3})$ en déplaçant $3$ hors du logarithme.

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \log ({(x^{2} y^{5})}^{\frac{1}{3}})$

Étape 6

Développez $\log ({(x^{2} y^{5})}^{\frac{1}{3}})$ en déplaçant $\frac{1}{3}$ hors du logarithme.

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{1}{3} \log (x^{2} y^{5})$

Étape 7

Réécrivez $\log (x^{2} y^{5})$ comme $\log (x^{2}) + \log (y^{5})$ .

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{1}{3} (\log (x^{2}) + \log (y^{5}))$

Étape 8

Développez $\log (x^{2})$ en déplaçant $2$ hors du logarithme.

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{1}{3} (2 \log (x) + \log (y^{5}))$

Étape 9

Développez $\log (y^{5})$ en déplaçant $5$ hors du logarithme.

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{1}{3} (2 \log (x) + 5 \log (y))$

Étape 10

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{1}{3} (2 \log (x)) + \frac{1}{3} (5 \log (y))$

Étape 10.2

Multipliez $\frac{1}{3} (2 \log (x))$ .

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Étape 10.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{2}{3} \log (x) + \frac{1}{3} (5 \log (y))$

Étape 10.2.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $\log (x)$ .

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{2 \log (x)}{3} + \frac{1}{3} (5 \log (y))$

Étape 10.3

Multipliez $\frac{1}{3} (5 \log (y))$ .

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Étape 10.3.1

Associez $5$ et $\frac{1}{3}$ .

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{2 \log (x)}{3} + \frac{5}{3} \log (y)$

Étape 10.3.2

Associez $\frac{5}{3}$ et $\log (y)$ .

$2 \log (x) + 3 \log (y) + \frac{2 \log (x)}{3} + \frac{5 \log (y)}{3}$

Étape 11

Pour écrire $2 \log (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 \log (y) + 2 \log (x) \cdot \frac{3}{3} + \frac{2 \log (x)}{3} + \frac{5 \log (y)}{3}$

Étape 12

Associez $2 \log (x)$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 \log (y) + \frac{2 \log (x) \cdot 3}{3} + \frac{2 \log (x)}{3} + \frac{5 \log (y)}{3}$

Étape 13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \log (y) + \frac{2 \log (x) \cdot 3 + 2 \log (x)}{3} + \frac{5 \log (y)}{3}$

Étape 14

Simplifiez le numérateur.

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Étape 14.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$3 \log (y) + \frac{6 \log (x) + 2 \log (x)}{3} + \frac{5 \log (y)}{3}$

Étape 14.2

Additionnez $6 \log (x)$ et $2 \log (x)$ .

$3 \log (y) + \frac{8 \log (x)}{3} + \frac{5 \log (y)}{3}$

Étape 15

Pour écrire $3 \log (y)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 \log (y) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5 \log (y)}{3} + \frac{8 \log (x)}{3}$

Étape 16

Associez $3 \log (y)$ et $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 \log (y) \cdot 3}{3} + \frac{5 \log (y)}{3} + \frac{8 \log (x)}{3}$

Étape 17

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \log (y) \cdot 3 + 5 \log (y)}{3} + \frac{8 \log (x)}{3}$

Étape 18

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 \log (y) \cdot 3 + 5 \log (y) + 8 \log (x)}{3}$

Étape 19

Simplifiez le numérateur.

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Étape 19.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{9 \log (y) + 5 \log (y) + 8 \log (x)}{3}$

Étape 19.2

Additionnez $9 \log (y)$ et $5 \log (y)$ .

$\frac{14 \log (y) + 8 \log (x)}{3}$

Étape 20

Factorisez $2$ à partir de $14 \log (y) + 8 \log (x)$ .

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Étape 20.1

Factorisez $2$ à partir de $14 \log (y)$ .

$\frac{2 (7 \log (y)) + 8 \log (x)}{3}$

Étape 20.2

Factorisez $2$ à partir de $8 \log (x)$ .

$\frac{2 (7 \log (y)) + 2 (4 \log (x))}{3}$

Étape 20.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (7 \log (y)) + 2 (4 \log (x))$ .

$\frac{2 (7 \log (y) + 4 \log (x))}{3}$