Algèbre Exemples

$\log_{3} (4 x^{2} - 7) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Étape 1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{4 x^{2} - 7}{3 x + 2}) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{3} (\frac{4 x^{2} - 7}{3 x + 2}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{4 x^{2} - 7}{3 x + 2}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$4 x^{2} - 7 = 3 (3 x + 2)$

Étape 4

Simplifiez $3 (3 x + 2)$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} - 7 = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Étape 4.2

Multipliez.

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$4 x^{2} - 7 = 9 x + 3 \cdot 2$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$4 x^{2} - 7 = 9 x + 6$

Étape 5

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 7 - 9 x = 6$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 9 x = 6 + 7$

Étape 6.2

Additionnez $6$ et $7$ .

$4 x^{2} - 9 x = 13$

Étape 7

Soustrayez $13$ des deux côtés de l’équation.

$4 x^{2} - 9 x - 13 = 0$

Étape 8

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 13 = - 52$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$4 x^{2} - 9 x - 13 = 0$

Étape 8.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $4$ plus $- 13$

$4 x^{2} + (4 - 13) x - 13 = 0$

Étape 8.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} + 4 x - 13 x - 13 = 0$

Étape 8.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 x^{2} + 4 x) - 13 x - 13 = 0$

Étape 8.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 x (x + 1) - 13 (x + 1) = 0$

Étape 8.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 1$ .

$(x + 1) (4 x - 13) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$4 x - 13 = 0$

Étape 10

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 10.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 11

Définissez $4 x - 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $4 x - 13$ égal à $0$ .

$4 x - 13 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $4 x - 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$4 x = 13$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = 13$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = 13$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{13}{4}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{13}{4}$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (4 x - 13) = 0$ vraie.

$x = - 1, \frac{13}{4}$

Étape 13

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (4 x^{2} - 7) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ vrai.

$x = \frac{13}{4}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{13}{4}$

Forme décimale :

$x = 3.25$

Forme de nombre mixte :

$x = 3 \frac{1}{4}$