Algèbre Exemples

$f (x) = {(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}$ comme une équation.

$y = {(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3}} = x$ .

${(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{y - 3}{8})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{y - 3}{8})}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.1.2

Divisez la fraction $\frac{y - 3}{8}$ en deux fractions.

${(\frac{y}{8} + \frac{- 3}{8})}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

${(\frac{y}{8} - \frac{3}{8})}^{1} = x^{3}$

Étape 3.3.1.4

Simplifiez

$\frac{y}{8} - \frac{3}{8} = x^{3}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $\frac{3}{8}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{8} = x^{3} + \frac{3}{8}$

Étape 3.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $8$ .

$8 \frac{y}{8} = 8 (x^{3} + \frac{3}{8})$

Étape 3.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$8 \frac{y}{8} = 8 (x^{3} + \frac{3}{8})$

Étape 3.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 8 (x^{3} + \frac{3}{8})$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.2.1

Simplifiez $8 (x^{3} + \frac{3}{8})$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 8 x^{3} + 8 (\frac{3}{8})$

Étape 3.4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.4.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 8 x^{3} + 8 (\frac{3}{8})$

Étape 3.4.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 8 x^{3} + 3$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 3$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 3$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = 8 {({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = 8 {(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = 8 {(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3$

Étape 5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = 8 (\frac{x - 3}{8}) + 3$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = 8 (\frac{x - 3}{8}) + 3$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = 8 (\frac{x - 3}{8}) + 3$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = x - 3 + 3$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (8 x^{3} + 3)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (8 x^{3} + 3) = {(\frac{(8 x^{3} + 3) - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (8 x^{3} + 3) = {(\frac{8 x^{3} + 0}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $8 x^{3}$ et $0$ .

$f (8 x^{3} + 3) = {(\frac{8 x^{3}}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (8 x^{3} + 3) = {(\frac{8 x^{3}}{8})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4.1.2

Divisez $x^{3}$ par $1$ .

$f (8 x^{3} + 3) = {(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (8 x^{3} + 3) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (8 x^{3} + 3) = x^{3 (\frac{1}{3})}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (8 x^{3} + 3) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 3$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x - 3}{8})}^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x) = 8 x^{3} + 3$