Algèbre Exemples

$f (x) = x^{2}$ , $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (g (x))$

Étape 2

Évaluez $f (\sqrt{1 - x^{2}})$ en remplaçant la valeur de $g$ par $f$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {(\sqrt{1 - x^{2}})}^{2}$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{1^{2} - x^{2}}}^{2}$

Étape 4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$

Étape 5

Réécrivez ${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ comme $(1 + x) (1 - x)$ .

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Étape 5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ comme ${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Étape 5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Étape 5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = {((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}$

Étape 5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

Étape 5.5

Simplifiez

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = (1 + x) (1 - x)$

Étape 6

Développez $(1 + x) (1 - x)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 (1 - x) + x (1 - x)$

Étape 6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x (1 - x)$

Étape 6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 \cdot 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 1 (- x) + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 7.1.2

Multipliez $- x$ par $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x \cdot 1 + x (- x)$

Étape 7.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x + x (- x)$

Étape 7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x \cdot x$

Étape 7.1.5

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 7.1.5.1

Déplacez $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - (x \cdot x)$

Étape 7.1.5.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x + x - x^{2}$

Étape 7.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 + 0 - x^{2}$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = 1 - x^{2}$

Étape 8

Remettez dans l’ordre $1$ et $- x^{2}$ .

$f (\sqrt{1 - x^{2}}) = - x^{2} + 1$