Algèbre Exemples

$x^{2} + 9 x + 14 > 0$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{2} + 9 x + 14 = 0$

Étape 2

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 9$ et $c = 14$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 14)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Élevez $9$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 14$ .

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Étape 4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $14$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.3

Soustrayez $56$ de $81$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.4

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{5^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{- 9 \pm 5}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 9 \pm 5}{2}$

Étape 5

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2, - 7$

Étape 6

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 7$

$- 7 < x < - 2$

$x > - 2$

Étape 7

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 7.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 7$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 10$

Étape 7.1.2

Remplacez $x$ par $- 10$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 10)}^{2} + 9 (- 10) + 14 > 0$

Étape 7.1.3

Le côté gauche $24$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 7 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 7.2.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 4)}^{2} + 9 (- 4) + 14 > 0$

Étape 7.2.3

Le côté gauche $- 6$ n’est pas supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 7.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 7.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 7.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{2} + 9 (0) + 14 > 0$

Étape 7.3.3

Le côté gauche $14$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 7.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 2$ Faux

$x > - 2$ Vrai

$x < - 7$ Vrai

$- 7 < x < - 2$ Faux

$x > - 2$ Vrai

Étape 8

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 7$ ou $x > - 2$