Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} + x - 2}{x - 3} = - 3$

Étape 1

Factorisez $x^{2} + x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $1$ .

$- 1, 2$

Étape 1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} = - 3$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x - 3, 1$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses.

$x - 3, 1$

Étape 2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x - 3$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} = - 3$ par $x - 3$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} = - 3$ par $x - 3$ .

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} (x - 3) = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 3$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x + 2)}{x - 3} (x - 3) = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$(x - 1) (x + 2) = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.2

Développez $(x - 1) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x + 2) - 1 (x + 2) = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2) = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2 = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x^{2} + 2 x - x - 2 = - 3 (x - 3)$

Étape 3.2.3.2

Soustrayez $x$ de $2 x$ .

$x^{2} + x - 2 = - 3 (x - 3)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + x - 2 = - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 3.3.2

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$x^{2} + x - 2 = - 3 x + 9$

Étape 4

Résolvez l’équation.

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Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 4.1.1

Ajoutez $3 x$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} + x - 2 + 3 x = 9$

Étape 4.1.2

Additionnez $x$ et $3 x$ .

$x^{2} + 4 x - 2 = 9$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 4 x - 2 - 9 = 0$

Étape 4.2.2

Soustrayez $9$ de $- 2$ .

$x^{2} + 4 x - 11 = 0$

Étape 4.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.4

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 4$ et $c = - 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 11)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Simplifiez

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Étape 4.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 11$ .

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Étape 4.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 11$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 44}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.3

Additionnez $16$ et $44$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4

Réécrivez $60$ comme $2^{2} \cdot 15$ .

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Étape 4.5.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $60$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$

Étape 4.5.3

Simplifiez $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{15}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{15}$

Étape 4.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - 2 + \sqrt{15}, - 2 - \sqrt{15}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - 2 + \sqrt{15}, - 2 - \sqrt{15}$

Forme décimale :

$x = 1.87298334 \dots, - 5.87298334 \dots$