Algèbre Exemples

$\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 4}{3 x + 2}) = 1$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\log_{3} (\frac{x^{2} - 2^{2}}{3 x + 2}) = 1$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{3} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{(x + 2) (x - 2)}{3 x + 2}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x + 2)$

Étape 4

Simplifiez $3 (3 x + 2)$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (x - 2) = 3 (3 x) + 3 \cdot 2$

Étape 4.2

Multipliez.

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Étape 4.2.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 3 \cdot 2$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$(x + 2) (x - 2) = 9 x + 6$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $9 x$ des deux côtés de l’équation.

$(x + 2) (x - 2) - 9 x = 6$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Développez $(x + 2) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 2) + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - 9 x = 6$

Étape 5.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Étape 5.2.2

Associez les termes opposés dans $x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ .

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Étape 5.2.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $x \cdot - 2$ et $2 x$ .

$x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Étape 5.2.2.2

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Étape 5.2.2.3

Additionnez $x \cdot x$ et $0$ .

$x \cdot x + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + 2 \cdot - 2 - 9 x = 6$

Étape 5.2.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 4 - 9 x = 6$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 9 x = 6 + 4$

Étape 6.2

Additionnez $6$ et $4$ .

$x^{2} - 9 x = 10$

Étape 7

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 9 x - 10 = 0$

Étape 8

Factorisez $x^{2} - 9 x - 10$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 8.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 10$ et dont la somme est $- 9$ .

$- 10, 1$

Étape 8.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 10) (x + 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 10 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 10

Définissez $x - 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $x - 10$ égal à $0$ .

$x - 10 = 0$

Étape 10.2

Ajoutez $10$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 10$

Étape 11

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 10) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 10, - 1$

Étape 13

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{3} (x^{2} - 4) - \log_{3} (3 x + 2) = 1$ vrai.

$x = 10$