Algèbre Exemples

$f (x) = 2^{x - 1} - 3^{x + 1}$

Étape 1

Définissez $2^{x - 1} - 3^{x + 1}$ égal à $0$ .

$2^{x - 1} - 3^{x + 1} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Déplacez $- 3^{x + 1}$ du côté droit de l’équation en l’ajoutant des deux côtés.

$2^{x - 1} = 3^{x + 1}$

Étape 2.2

Prenez le logarithme des deux côtés de l’équation.

$\ln (2^{x - 1}) = \ln (3^{x + 1})$

Étape 2.3

Développez $\ln (2^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$(x - 1) \ln (2) = \ln (3^{x + 1})$

Étape 2.4

Développez $\ln (3^{x + 1})$ en déplaçant $x + 1$ hors du logarithme.

$(x - 1) \ln (2) = (x + 1) \ln (3)$

Étape 2.5

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez $(x - 1) \ln (2)$ .

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Étape 2.5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (x - 1) \ln (2) = (x + 1) \ln (3)$

Étape 2.5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(x - 1) \ln (2) = (x + 1) \ln (3)$

Étape 2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) - 1 \ln (2) = (x + 1) \ln (3)$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $- 1 \ln (2)$ comme $- \ln (2)$ .

$x \ln (2) - \ln (2) = (x + 1) \ln (3)$

Étape 2.5.2

Simplifiez $(x + 1) \ln (3)$ .

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Étape 2.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x \ln (2) - \ln (2) = x \ln (3) + 1 \ln (3)$

Étape 2.5.2.2

Multipliez $\ln (3)$ par $1$ .

$x \ln (2) - \ln (2) = x \ln (3) + \ln (3)$

Étape 2.5.3

Soustrayez $x \ln (3)$ des deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) - \ln (2) - x \ln (3) = \ln (3)$

Étape 2.5.4

Ajoutez $\ln (2)$ aux deux côtés de l’équation.

$x \ln (2) - x \ln (3) = \ln (3) + \ln (2)$

Étape 2.5.5

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2) - x \ln (3)$ .

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Étape 2.5.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (3) = \ln (3) + \ln (2)$

Étape 2.5.5.2

Factorisez $x$ à partir de $- x \ln (3)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (2)$

Étape 2.5.5.3

Factorisez $x$ à partir de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (3))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (3)) = \ln (3) + \ln (2)$

Étape 2.5.6

Réécrivez $- 1 \ln (3)$ comme $- \ln (3)$ .

$x (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (3) + \ln (2)$

Étape 2.5.7

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (3) + \ln (2)$ par $\ln (2) - \ln (3)$ et simplifiez.

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Étape 2.5.7.1

Divisez chaque terme dans $x (\ln (2) - \ln (3)) = \ln (3) + \ln (2)$ par $\ln (2) - \ln (3)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 2.5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (2) - \ln (3)$ .

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Étape 2.5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (3))}{\ln (2) - \ln (3)} = \frac{\ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 2.5.7.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{\ln (3)}{\ln (2) - \ln (3)} + \frac{\ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 2.5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{\ln (3) + \ln (2)}{\ln (2) - \ln (3)}$

Étape 3