Algèbre Exemples

$9^{2 x - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{x^{2} - 4}$

Étape 1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{27}$ .

$9^{2 x - 4} \geq \frac{1^{x^{2} - 4}}{27^{x^{2} - 4}}$

Étape 2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$9^{2 x - 4} \geq \frac{1}{27^{x^{2} - 4}}$

Étape 3

Placez $27^{x^{2} - 4}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{- n}} = b^{n}$ .

$9^{2 x - 4} \geq 27^{- (x^{2} - 4)}$

Étape 4

Créez des expressions équivalentes dans l’équation qui ont toutes des bases égales.

$3^{2 (2 x - 4)} \geq 3^{3 (- (x^{2} - 4))}$

Étape 5

Les bases étant les mêmes, deux expressions ne sont égales que si les exposants sont également égaux.

$2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Étape 6

Résolvez $x$ .

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Étape 6.1

Simplifiez $2 (2 x - 4)$ .

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Étape 6.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + 2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Étape 6.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$2 (2 x - 4) \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Étape 6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x) + 2 \cdot - 4 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Étape 6.1.4

Multipliez.

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Étape 6.1.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + 2 \cdot - 4 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Étape 6.1.4.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$4 x - 8 \geq 3 (- (x^{2} - 4))$

Étape 6.2

Simplifiez $3 (- (x^{2} - 4))$ .

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Étape 6.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2} - - 4)$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2} + 4)$

Étape 6.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 x - 8 \geq 3 (- x^{2}) + 3 \cdot 4$

Étape 6.2.4

Multipliez.

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Étape 6.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$4 x - 8 \geq - 3 x^{2} + 3 \cdot 4$

Étape 6.2.4.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$4 x - 8 \geq - 3 x^{2} + 12$

Étape 6.3

Ajoutez $3 x^{2}$ aux deux côtés de l’inégalité.

$4 x - 8 + 3 x^{2} \geq 12$

Étape 6.4

Convertissez l’inégalité en une équation.

$4 x - 8 + 3 x^{2} = 12$

Étape 6.5

Soustrayez $12$ des deux côtés de l’équation.

$4 x - 8 + 3 x^{2} - 12 = 0$

Étape 6.6

Soustrayez $12$ de $- 8$ .

$4 x + 3 x^{2} - 20 = 0$

Étape 6.7

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.7.1

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$4 u + 3 u^{2} - 20 = 0$

Étape 6.7.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 6.7.2.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 u^{2} + 4 u - 20 = 0$

Étape 6.7.2.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 20 = - 60$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 6.7.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 u$ .

$3 u^{2} + 4 (u) - 20 = 0$

Étape 6.7.2.2.2

Réécrivez $4$ comme $- 6$ plus $10$

$3 u^{2} + (- 6 + 10) u - 20 = 0$

Étape 6.7.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 u^{2} - 6 u + 10 u - 20 = 0$

Étape 6.7.2.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 6.7.2.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 u^{2} - 6 u) + 10 u - 20 = 0$

Étape 6.7.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 u (u - 2) + 10 (u - 2) = 0$

Étape 6.7.2.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 2$ .

$(u - 2) (3 u + 10) = 0$

Étape 6.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x - 2) (3 x + 10) = 0$

Étape 6.8

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$3 x + 10 = 0$

Étape 6.9

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.9.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 6.9.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 6.10

Définissez $3 x + 10$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 6.10.1

Définissez $3 x + 10$ égal à $0$ .

$3 x + 10 = 0$

Étape 6.10.2

Résolvez $3 x + 10 = 0$ pour $x$ .

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Étape 6.10.2.1

Soustrayez $10$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 10$

Étape 6.10.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 10$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 6.10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 10$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Étape 6.10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 6.10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 10}{3}$

Étape 6.10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 10}{3}$

Étape 6.10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{10}{3}$

Étape 6.11

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 2) (3 x + 10) = 0$ vraie.

$x = 2, - \frac{10}{3}$

Étape 7

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - \frac{10}{3}$

$- \frac{10}{3} < x < 2$

$x > 2$

Étape 8

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 8.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{10}{3}$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - \frac{10}{3}$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 8.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$9^{2 (- 6) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(- 6)}^{2} - 4}$

Étape 8.1.3

Le côté gauche $5.39659527 E - 16$ est supérieur au côté droit $1.57166342 E - 46$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- \frac{10}{3} < x < 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- \frac{10}{3} < x < 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 8.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$9^{2 (0) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(0)}^{2} - 4}$

Étape 8.2.3

Le côté gauche $0.00015241$ est inférieur au côté droit $531441$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 8.3

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 8.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 8.3.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$9^{2 (4) - 4} \geq {(\frac{1}{27})}^{{(4)}^{2} - 4}$

Étape 8.3.3

Le côté gauche $6561$ est supérieur au côté droit $6.6624633 E - 18$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 8.4

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - \frac{10}{3}$ Vrai

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

$x < - \frac{10}{3}$ Vrai

$- \frac{10}{3} < x < 2$ Faux

$x > 2$ Vrai

Étape 9

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x \leq - \frac{10}{3}$ ou $x \geq 2$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x \leq - \frac{10}{3} or x \geq 2$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - \frac{10}{3}] \cup [2, \infty)$

Étape 11