Algèbre Exemples

$\sin^{2} (θ) - \cos^{2} (θ) = 0$ $0 \leq θ < 2 π$

Étape 1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \sin (θ)$ et $b = \cos (θ)$ .

$(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ)) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\sin (θ) + \cos (θ) = 0$

$\sin (θ) - \cos (θ) = 0$

Étape 3

Définissez $\sin (θ) + \cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 3.1

Définissez $\sin (θ) + \cos (θ)$ égal à $0$ .

$\sin (θ) + \cos (θ) = 0$

Étape 3.2

Résolvez $\sin (θ) + \cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 3.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 3.2.2

Convertissez de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ à $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\tan (θ) + 1 = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 3.2.4

Séparez les fractions.

$\tan (θ) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 3.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\tan (θ) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (θ)$

Étape 3.2.6

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (θ) + 1 = 0 \sec (θ)$

Étape 3.2.7

Multipliez $0$ par $\sec (θ)$ .

$\tan (θ) + 1 = 0$

Étape 3.2.8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$\tan (θ) = - 1$

Étape 3.2.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (- 1)$

Étape 3.2.10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.10.1

La valeur exacte de $\arctan (- 1)$ est $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.11

La fonction tangente est négative dans les deuxième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 3.2.12.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Étape 3.2.12.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{4}$ est positif et coterminal avec $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.13

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 3.2.13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 3.2.13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 3.2.13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 3.2.13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 3.2.14

Ajoutez $π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 3.2.14.1

Ajoutez $π$ à $- \frac{π}{4}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{4} + π$

Étape 3.2.14.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.14.3

Associez les fractions.

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Étape 3.2.14.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Étape 3.2.14.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Étape 3.2.14.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.14.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Étape 3.2.14.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.14.5

Indiquez les nouveaux angles.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Étape 3.2.15

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 4

Définissez $\sin (θ) - \cos (θ)$ égal à $0$ et résolvez $θ$ .

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Étape 4.1

Définissez $\sin (θ) - \cos (θ)$ égal à $0$ .

$\sin (θ) - \cos (θ) = 0$

Étape 4.2

Résolvez $\sin (θ) - \cos (θ) = 0$ pour $θ$ .

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Étape 4.2.1

Divisez chaque terme dans l’équation par $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{- \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 4.2.2

Convertissez de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ à $\tan (θ)$ .

$\tan (θ) + \frac{- \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $\cos (θ)$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\tan (θ) + \frac{- \cos (θ)}{\cos (θ)} = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 4.2.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\tan (θ) - 1 = \frac{0}{\cos (θ)}$

Étape 4.2.4

Séparez les fractions.

$\tan (θ) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Étape 4.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (θ)}$ à $\sec (θ)$ .

$\tan (θ) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (θ)$

Étape 4.2.6

Divisez $0$ par $1$ .

$\tan (θ) - 1 = 0 \sec (θ)$

Étape 4.2.7

Multipliez $0$ par $\sec (θ)$ .

$\tan (θ) - 1 = 0$

Étape 4.2.8

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\tan (θ) = 1$

Étape 4.2.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $θ$ de l’intérieur de la tangente.

$θ = \arctan (1)$

Étape 4.2.10

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.2.10.1

La valeur exacte de $\arctan (1)$ est $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 4.2.11

La fonction tangente est positive dans les premier et troisième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, ajoutez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.12

Simplifiez $π + \frac{π}{4}$ .

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Étape 4.2.12.1

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.12.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.12.2.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Étape 4.2.12.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Étape 4.2.12.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.12.3.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Étape 4.2.12.3.2

Additionnez $4 π$ et $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Étape 4.2.13

Déterminez la période de $\tan (θ)$ .

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Étape 4.2.13.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Étape 4.2.13.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{π}{| 1 |}$

Étape 4.2.13.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{π}{1}$

Étape 4.2.13.4

Divisez $π$ par $1$ .

$π$

Étape 4.2.14

La période de la fonction $\tan (θ)$ est $π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $π$ radians dans les deux sens.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(\sin (θ) + \cos (θ)) (\sin (θ) - \cos (θ)) = 0$ vraie.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 6

Consolidez les réponses.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 7

Déterminez les valeurs de $n$ qui produisent une valeur sur l’intervalle $[0, 2 π)$ .

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Étape 7.1

Insérez $0$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 7.1.1

Insérez $0$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (0)}{2}$

Étape 7.1.2

Simplifiez

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Étape 7.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.2.1.1

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 7.1.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $π (0)$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2}$

Étape 7.1.2.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.1.2.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 (1)}$

Étape 7.1.2.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{4} + \frac{2 (π \cdot (0))}{2 \cdot 1}$

Étape 7.1.2.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot (0)}{1}$

Étape 7.1.2.1.1.2.4

Divisez $π \cdot (0)$ par $1$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot (0)$

Étape 7.1.2.1.2

Multipliez $π$ par $0$ .

$\frac{π}{4} + 0$

Étape 7.1.2.2

Additionnez $\frac{π}{4}$ et $0$ .

$\frac{π}{4}$

Étape 7.1.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Étape 7.2

Insérez $1$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Insérez $1$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (1)}{2}$

Étape 7.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.2.1

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2}$

Étape 7.2.2.2

Pour écrire $\frac{π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.2.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 7.2.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 7.2.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{4}$

Étape 7.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 2}{4}$

Étape 7.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.2.2.5.1

Déplacez $2$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 2 \cdot π}{4}$

Étape 7.2.2.5.2

Additionnez $π$ et $2 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Étape 7.2.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{3 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}$

Étape 7.3

Insérez $2$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

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Étape 7.3.1

Insérez $2$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (2)}{2}$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 2}{2}$

Étape 7.3.2.1.2

Divisez $π$ par $1$ .

$\frac{π}{4} + π$

Étape 7.3.2.2

Pour écrire $π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + π \cdot \frac{4}{4}$

Étape 7.3.2.3

Associez les fractions.

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Étape 7.3.2.3.1

Associez $π$ et $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π \cdot 4}{4}$

Étape 7.3.2.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + π \cdot 4}{4}$

Étape 7.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.2.4.1

Déplacez $4$ à gauche de $π$ .

$\frac{π + 4 \cdot π}{4}$

Étape 7.3.2.4.2

Additionnez $π$ et $4 π$ .

$\frac{5 π}{4}$

Étape 7.3.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{5 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Étape 7.4

Insérez $3$ pour $n$ et simplifiez pour voir si la solution est contenue dans $[0, 2 π)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Insérez $3$ pour $n$ .

$\frac{π}{4} + \frac{π (3)}{2}$

Étape 7.4.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $π$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2}$

Étape 7.4.2.2

Pour écrire $\frac{3 π}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 7.4.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.3.1

Multipliez $\frac{3 π}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 7.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{π}{4} + \frac{3 π \cdot 2}{4}$

Étape 7.4.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{π + 3 π \cdot 2}{4}$

Étape 7.4.2.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.2.5.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{π + 6 π}{4}$

Étape 7.4.2.5.2

Additionnez $π$ et $6 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Étape 7.4.3

L’intervalle $[0, 2 π)$ contient $\frac{7 π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}, \frac{7 π}{4}$