Algèbre Exemples

$f (x) = (\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = (\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$ comme une équation.

$y = (\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2

Simplifiez $(\frac{1}{\sec (x) - 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$y = (\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.2

Pour écrire $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$y = (\frac{1}{\sec (x) - 1} \cdot \frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{1}{\sec (x) - 1}$ par $\frac{\sec (x) + 1}{\sec (x) + 1}$ .

$y = (\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{1}{\sec (x) + 1} \cdot \frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{1}{\sec (x) + 1}$ par $\frac{\sec (x) - 1}{\sec (x) - 1}$ .

$y = (\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(\sec (x) - 1) (\sec (x) + 1)$ .

$y = (\frac{\sec (x) + 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} + \frac{\sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}) \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\sec (x) + 1 + \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Additionnez $\sec (x)$ et $\sec (x)$ .

$y = \frac{1 + 2 \sec (x) - 1}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$y = \frac{0 + 2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.5.3

Additionnez $0$ et $2 \sec (x)$ .

$y = \frac{2 \sec (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\tan^{2} (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.6

Associez.

$y = \frac{2 \sec (x) \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1) \csc (x)}$

Étape 2.7

Séparez les fractions.

$y = \frac{2 \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\sec (x)}{\csc (x)}$

Étape 2.8

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{2 \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\sec (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 2.9

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$y = \frac{2 \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\frac{1}{\cos (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 2.10

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$y = \frac{2 \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Étape 2.11

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$y = \frac{2 \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \tan (x)$

Étape 2.12

Multipliez $\frac{2 \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)} \tan (x)$ .

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Étape 2.12.1

Associez $\frac{2 \tan^{2} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$ et $\tan (x)$ .

$y = \frac{2 \tan^{2} (x) \tan (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 2.12.2

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{2 (\tan^{1} (x) \tan^{2} (x))}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 2.12.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{2 {\tan (x)}^{1 + 2}}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$

Étape 2.12.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{2 \tan^{3} (x)}{(\sec (x) + 1) (\sec (x) - 1)}$