Algèbre Exemples

$\log_{b} (\sqrt{\frac{57}{74}})$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt{\frac{57}{74}}$ comme $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{74}}$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{74}})$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{74}}$ par $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{74}} \cdot \frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}})$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{57}}{\sqrt{74}}$ par $\frac{\sqrt{74}}{\sqrt{74}}$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{\sqrt{74} \sqrt{74}})$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt{74}$ à la puissance $1$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{1} \sqrt{74}})$

Étape 3.3

Élevez $\sqrt{74}$ à la puissance $1$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{1} {\sqrt{74}}^{1}})$

Étape 3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{1 + 1}})$

Étape 3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{{\sqrt{74}}^{2}})$

Étape 3.6

Réécrivez ${\sqrt{74}}^{2}$ comme $74$ .

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Étape 3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{74}$ comme $74^{\frac{1}{2}}$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{{(74^{\frac{1}{2}})}^{2}})$

Étape 3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{74^{\frac{1}{2} \cdot 2}})$

Étape 3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{74^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{74^{\frac{2}{2}}})$

Étape 3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{74^{1}})$

Étape 3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57} \sqrt{74}}{74})$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\log_{b} (\frac{\sqrt{57 \cdot 74}}{74})$

Étape 4.2

Multipliez $57$ par $74$ .

$\log_{b} (\frac{\sqrt{4218}}{74})$

Étape 5

Réécrivez $\log_{b} (\frac{\sqrt{4218}}{74})$ en utilisant la formule du changement de base.

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Étape 5.1

La règle du changement de base peut être utilisée si $a$ et $b$ sont supérieurs à $0$ et ne sont pas égaux à $1$ , et si $x$ est supérieur à $0$ .

$\log_{a} (x) = \frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)}$

Étape 5.2

Remplacez les valeurs pour les variables dans la formule du changement de base, avec $b = 10$ .

$\frac{\log (\frac{\sqrt{4218}}{74})}{\log (b)}$