Algèbre Exemples

$\frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + \sqrt{8}}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + \sqrt{4 (2)}}$

Étape 1.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + \sqrt{2^{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{7} - 5}{\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}{\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}}$ .

$\frac{(\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{(\sqrt{7} + 2 \sqrt{2}) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}$

Étape 3.2

Développez le dénominateur à l’aide de la méthode FOIL.

$\frac{(\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{{\sqrt{7}}^{2} - 2 \sqrt{14} + 2 \sqrt{14} - 4 {\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

$\frac{(\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$

Étape 3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.4.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{(\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})}{- 1}$ .

$- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 3.4.2

Réécrivez $- 1 \cdot ((\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ comme $- ((\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$ .

$- ((\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 4

Développez $(\sqrt{7} - 5) (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{7} (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}) - 5 (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 5 (\sqrt{7} - 2 \sqrt{2}))$

Étape 4.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (\sqrt{7} \sqrt{7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 5 \sqrt{7} - 5 (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (\sqrt{7 \cdot 7} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 5 \sqrt{7} - 5 (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.1.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$- (\sqrt{49} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 5 \sqrt{7} - 5 (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.1.3

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$- (\sqrt{7^{2}} + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 5 \sqrt{7} - 5 (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- (7 + \sqrt{7} (- 2 \sqrt{2}) - 5 \sqrt{7} - 5 (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.1.5

Multipliez $\sqrt{7} (- 2 \sqrt{2})$ .

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Étape 5.1.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$- (7 - 2 \sqrt{7 \cdot 2} - 5 \sqrt{7} - 5 (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.1.5.2

Multipliez $7$ par $2$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 5 \sqrt{7} - 5 (- 2 \sqrt{2}))$

Étape 5.1.6

Multipliez $- 2$ par $- 5$ .

$- (7 - 2 \sqrt{14} - 5 \sqrt{7} + 10 \sqrt{2})$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 \cdot 7 - (- 2 \sqrt{14}) - (- 5 \sqrt{7}) - (10 \sqrt{2})$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$- 7 - (- 2 \sqrt{14}) - (- 5 \sqrt{7}) - (10 \sqrt{2})$

Étape 6.2

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$- 7 + 2 \sqrt{14} - (- 5 \sqrt{7}) - (10 \sqrt{2})$

Étape 6.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$- 7 + 2 \sqrt{14} + 5 \sqrt{7} - (10 \sqrt{2})$

Étape 6.4

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$- 7 + 2 \sqrt{14} + 5 \sqrt{7} - 10 \sqrt{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- 7 + 2 \sqrt{14} + 5 \sqrt{7} - 10 \sqrt{2}$

Forme décimale :

$- 0.43006429 \dots$