Algèbre Exemples

$\log_{6} (3 x^{2} - 3) - \log_{6} (4 x + 4) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{6} (\frac{3 x^{2} - 3}{4 x + 4}) = 0$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2} - 3$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) - 3}{4 x + 4}) = 0$

Étape 1.2.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2}) + 3 (- 1)}{4 x + 4}) = 0$

Étape 1.2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- 1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Étape 1.2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x^{2} - 1^{2})}{4 x + 4}) = 0$

Étape 1.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 x + 4}) = 0$

Étape 1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 1.3.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4$ .

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Étape 1.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4}) = 0$

Étape 1.3.1.2

Factorisez $4$ à partir de $4$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x) + 4 (1)}) = 0$

Étape 1.3.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (1)$ .

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $x + 1$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\log_{6} (\frac{3 (x + 1) (x - 1)}{4 (x + 1)}) = 0$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{6} (\frac{3 (x - 1)}{4}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$6^{0} = \frac{3 (x - 1)}{4}$

Étape 3

Résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$ .

$\frac{3 (x - 1)}{4} = 6^{0}$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Étape 3.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{3} \cdot \frac{3 (x - 1)}{4} = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Étape 3.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3} (3 (x - 1)) = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 6^{0}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez $\frac{4}{3} \cdot 6^{0}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3} \cdot 1$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $\frac{4}{3}$ par $1$ .

$x - 1 = \frac{4}{3}$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = \frac{4}{3} + 1$

Étape 3.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$x = \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Étape 3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{4 + 3}{3}$

Étape 3.4.4

Additionnez $4$ et $3$ .

$x = \frac{7}{3}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{7}{3}$

Forme décimale :

$x = 2.\overline{3}$

Forme de nombre mixte :

$x = 2 \frac{1}{3}$