Algèbre Exemples

$x = 2 | y | + 1$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $2 | y | + 1 = x$ .

$2 | y | + 1 = x$

Étape 2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 | y | = x - 1$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 | y | = x - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 | y | = x - 1$ par $2$ .

$\frac{2 | y |}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 | y |}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $| y |$ par $1$ .

$| y | = \frac{x}{2} + \frac{- 1}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$| y | = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 4

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

Étape 5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$

Étape 6

Simplifiez $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})$ .

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} - - \frac{1}{2}$

Étape 6.2

Multipliez $- - \frac{1}{2}$ .

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + 1 (\frac{1}{2})$

Étape 6.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 7

Interchangez les variables. Créez une équation pour chaque expression.

$x = \frac{y}{2} - \frac{1}{2}, x = - \frac{y}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 8

Résolvez chaque équation pour $y$ .

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Étape 8.1

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{2} - \frac{1}{2} = x$ .

$\frac{y}{2} - \frac{1}{2} = x$

Étape 8.1.2

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{2} = x + \frac{1}{2}$

Étape 8.1.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + \frac{1}{2})$

Étape 8.1.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.1.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y}{2} = 2 (x + \frac{1}{2})$

Étape 8.1.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 (x + \frac{1}{2})$

Étape 8.1.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.1.4.2.1

Simplifiez $2 (x + \frac{1}{2})$ .

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Étape 8.1.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 2 x + 2 (\frac{1}{2})$

Étape 8.1.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = 2 x + 2 (\frac{1}{2})$

Étape 8.1.4.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = 2 x + 1$

Étape 8.2

Résolvez $y$ .

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Étape 8.2.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} = x$ .

$- \frac{y}{2} + \frac{1}{2} = x$

Étape 8.2.2

Soustrayez $\frac{1}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{y}{2} = x - \frac{1}{2}$

Étape 8.2.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 8.2.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - y = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4.1.1.2

Multipliez.

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Étape 8.2.4.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 y = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4.1.1.2.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$y = - 2 (x - \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.4.2.1

Simplifiez $- 2 (x - \frac{1}{2})$ .

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Étape 8.2.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - 2 x - 2 (- \frac{1}{2})$

Étape 8.2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.2.4.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$y = - 2 x - 2 (\frac{- 1}{2})$

Étape 8.2.4.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$y = - 2 x + 2 (- 1) \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.4.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = - 2 x + 2 \cdot - 1 \frac{- 1}{2}$

Étape 8.2.4.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 2 x - - 1$

Étape 8.2.4.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - 2 x + 1$

Étape 8.3

Indiquez les équations.

$y = 2 x + 1, y = - 2 x + 1$

Étape 9

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$

Étape 10

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ et $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ puis comparez-les.

Étape 10.2

Déterminez la plage de $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

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Étape 10.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Étape 10.3

Déterminez le domaine de $2 x + 1$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 10.4

Déterminez le domaine de $\frac{x}{2} - \frac{1}{2}$ .

$(- \infty, \infty)$

Étape 10.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ se trouve sur la plage de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ est le domaine de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ , $f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = 2 x + 1, f^{- 1} (x) = - 2 x + 1$

Étape 11