Algèbre Exemples

${(a + b)}^{3} - {(b - c)}^{3}$

Étape 1

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = a + b$ et $b = b - c$ .

$(a + b - (b - c)) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2

Simplifiez

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + b - b - - c) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.2

Multipliez $- - c$ .

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Étape 2.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a + b - b + 1 c) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.2.2

Multipliez $c$ par $1$ .

$(a + b - b + c) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.3

Soustrayez $b$ de $b$ .

$(a + 0 + c) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.4

Additionnez $a$ et $0$ .

$(a + c) ({(a + b)}^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.5

Réécrivez ${(a + b)}^{2}$ comme $(a + b) (a + b)$ .

$(a + c) ((a + b) (a + b) + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.6

Développez $(a + b) (a + b)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a (a + b) + b (a + b) + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a \cdot a + a b + b (a + b) + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a \cdot a + a b + b a + b \cdot b + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.7

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.7.1.1

Multipliez $a$ par $a$ .

$(a + c) (a^{2} + a b + b a + b \cdot b + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.7.1.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a + c) (a^{2} + a b + b a + b^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.7.2

Additionnez $a b$ et $b a$ .

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Étape 2.7.2.1

Remettez dans l’ordre $b$ et $a$ .

$(a + c) (a^{2} + a b + a b + b^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.7.2.2

Additionnez $a b$ et $a b$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + (a + b) (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.8

Développez $(a + b) (b - c)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a (b - c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b + a (- c) + b (b - c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b + a (- c) + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.9

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b \cdot b + b (- c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.9.2

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} + b (- c) + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.9.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + {(b - c)}^{2})$

Étape 2.10

Réécrivez ${(b - c)}^{2}$ comme $(b - c) (b - c)$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + (b - c) (b - c))$

Étape 2.11

Développez $(b - c) (b - c)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b (b - c) - c (b - c))$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c (b - c))$

Étape 2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b \cdot b + b (- c) - c b - c (- c))$

Étape 2.12

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.12.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.12.1.1

Multipliez $b$ par $b$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} + b (- c) - c b - c (- c))$

Étape 2.12.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - c (- c))$

Étape 2.12.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c \cdot c)$

Étape 2.12.1.4

Multipliez $c$ par $c$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.12.1.4.1

Déplacez $c$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 (c \cdot c))$

Étape 2.12.1.4.2

Multipliez $c$ par $c$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b - 1 \cdot - 1 c^{2})$

Étape 2.12.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + 1 c^{2})$

Étape 2.12.1.6

Multipliez $c^{2}$ par $1$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - c b + c^{2})$

Étape 2.12.2

Soustrayez $c b$ de $- b c$ .

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Étape 2.12.2.1

Déplacez $c$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - b c - 1 b c + c^{2})$

Étape 2.12.2.2

Soustrayez $b c$ de $- b c$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 a b + b^{2} + a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})$

Étape 2.13

Additionnez $2 a b$ et $a b$ .

$(a + c) (a^{2} + b^{2} + 3 a b - a c + b^{2} - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})$

Étape 2.14

Additionnez $b^{2}$ et $b^{2}$ .

$(a + c) (a^{2} + 2 b^{2} + 3 a b - a c - b c + b^{2} - 2 b c + c^{2})$

Étape 2.15

Additionnez $2 b^{2}$ et $b^{2}$ .

$(a + c) (a^{2} + 3 b^{2} + 3 a b - a c - b c - 2 b c + c^{2})$

Étape 2.16

Soustrayez $2 b c$ de $- b c$ .

$(a + c) (a^{2} + 3 b^{2} + 3 a b - a c - 3 b c + c^{2})$