Algèbre Exemples

$\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4$ $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1

Résolvez $x$ dans $\frac{2}{x} + \frac{1}{y} = 4$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{1}{y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{2}{x} = 4 - \frac{1}{y}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1, y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2.2

Comme $x, 1, y$ contient des nombres et des variables, deux étapes sont nécessaires pour déterminer le plus petit multiple commun. Déterminez le plus petit multiple commun pour la partie numérique $1, 1, 1$ puis déterminez le plus petit multiple commun pour la partie variable $x^{1}, y^{1}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2.3

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

$1$ Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

$2$ Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2.4

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 1.2.5

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2.6

Le facteur pour $x^{1}$ est $x$ lui-même.

$x = x$

x occurs $1$ time.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2.7

Le facteur pour $y^{1}$ est $y$ lui-même.

$y = y$

y se produit $1$ fois.

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2.8

Le plus petit multiple commun de $x^{1}, y^{1}$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$x \cdot y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.2.9

Multipliez $x$ par $y$ .

$x y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{2}{x} = 4 - \frac{1}{y}$ par $x y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2}{x} = 4 - \frac{1}{y}$ par $x y$ .

$\frac{2}{x} \cdot (x y) = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x y$ .

$\frac{2}{x} \cdot (x (y)) = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{x} \cdot (x y) = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 y = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 (x y) - \frac{1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$2 y = 4 x y + \frac{- 1}{y} \cdot (x y)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3.3.1.2

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$2 y = 4 x y + \frac{- 1}{y} \cdot (y x)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3.3.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 y = 4 x y + \frac{- 1}{y} \cdot (y x)$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.3.3.1.4

Réécrivez l’expression.

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$2 y = 4 x y - x$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’équation comme $4 x y - x = 2 y$ .

$4 x y - x = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $4 x y - x$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x y$ .

$x (4 y) - x = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x (4 y) + x \cdot - 1 = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 y) + x \cdot - 1$ .

$x (4 y - 1) = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x (4 y - 1) = 2 y$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.4.3

Divisez chaque terme dans $x (4 y - 1) = 2 y$ par $4 y - 1$ et simplifiez.

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Étape 1.4.3.1

Divisez chaque terme dans $x (4 y - 1) = 2 y$ par $4 y - 1$ .

$\frac{x (4 y - 1)}{4 y - 1} = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $4 y - 1$ .

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Étape 1.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x (4 y - 1)}{4 y - 1} = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 1.4.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$

Étape 2

Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $\frac{2 y}{4 y - 1}$ dans chaque équation.

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Étape 2.1

Remplacez toutes les occurrences de $x$ dans $\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = - 1$ par $\frac{2 y}{4 y - 1}$ .

$\frac{3}{\frac{2 y}{4 y - 1}} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez $\frac{3}{\frac{2 y}{4 y - 1}} + \frac{5}{y}$ .

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Étape 2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3 (\frac{4 y - 1}{2 y}) + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.1.2

Associez $3$ et $\frac{4 y - 1}{2 y}$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5}{y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.2

Pour écrire $\frac{5}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5}{y} \cdot \frac{2}{2} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 y$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.2.1.3.1

Multipliez $\frac{5}{y}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5 \cdot 2}{y \cdot 2} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.3.2

Réorganisez les facteurs de $y \cdot 2$ .

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{3 (4 y - 1)}{2 y} + \frac{5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (4 y - 1) + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.1.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 (4 y) + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 y + 3 \cdot - 1 + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{12 y - 3 + 5 \cdot 2}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.5.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{12 y - 3 + 10}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 2.2.1.5.5

Additionnez $- 3$ et $10$ .

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ dans $\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y, 1$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$ par $2 y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{12 y + 7}{2 y} = - 1$ par $2 y$ .

$\frac{12 y + 7}{2 y} \cdot (2 y) = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 (\frac{12 y + 7}{2 y}) \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$2 (\frac{12 y + 7}{2 (y)}) \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{12 y + 7}{2 y}) \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12 y + 7}{y} \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$\frac{12 y + 7}{y} \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 y + 7}{y} \cdot y = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$12 y + 7 = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - (2 y)$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$12 y + 7 = - 2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - 2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$12 y + 7 = - 2 y$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1.1

Ajoutez $2 y$ aux deux côtés de l’équation.

$12 y + 7 + 2 y = 0$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.1.2

Additionnez $12 y$ et $2 y$ .

$14 y + 7 = 0$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$14 y + 7 = 0$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$14 y = - 7$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $14 y = - 7$ par $14$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $14 y = - 7$ par $14$ .

$\frac{14 y}{14} = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{14 y}{14} = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 7}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1

Annulez le facteur commun à $- 7$ et $14$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.3.1.1

Factorisez $7$ à partir de $- 7$ .

$y = \frac{7 (- 1)}{14}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.3.3.1.2.1

Factorisez $7$ à partir de $14$ .

$y = \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{7 \cdot - 1}{7 \cdot 2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = \frac{- 1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 3.3.3.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{2 y}{4 y - 1}$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $y$ par $- \frac{1}{2}$ dans chaque équation.

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Étape 4.1

Remplacez toutes les occurrences de $y$ dans $x = \frac{2 y}{4 y - 1}$ par $- \frac{1}{2}$ .

$x = \frac{2 (- \frac{1}{2})}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Simplifiez $\frac{2 (- \frac{1}{2})}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.1.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$x = \frac{- 2 (\frac{1}{2})}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.1.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{4 (- \frac{1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2}$ dans le numérateur.

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{4 (\frac{- 1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 (2) (\frac{- 1}{2}) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 \cdot (2 (\frac{- 1}{2})) - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 \cdot - 1 - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{2 \cdot - 1 - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{- 2 - 1}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.2.3

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{- 3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{\frac{- 2}{2}}{- 3}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.1.3.1

Divisez $- 2$ par $2$ .

$x = \frac{- 1}{- 3}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 4.2.1.3.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

$x = \frac{1}{3}$

$y = - \frac{1}{2}$

Étape 5

La solution du système est l’ensemble complet de paires ordonnées qui sont des solutions valides.

$(\frac{1}{3}, - \frac{1}{2})$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme du point :

$(\frac{1}{3}, - \frac{1}{2})$

Forme de l’équation :

$x = \frac{1}{3}, y = - \frac{1}{2}$

Étape 7