Algèbre Exemples

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ ; solve for $r$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) = V$ .

$\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) = V$

Étape 2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{1}{\frac{4}{3} π}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.1

Simplifiez $\frac{1}{\frac{4}{3} π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3}))$ .

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Étape 3.1.1.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$\frac{1}{\frac{4 π}{3}} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.3

Multipliez $\frac{3}{4 π}$ par $1$ .

$\frac{3}{4 π} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.4

Annulez le facteur commun de $π$ .

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Étape 3.1.1.4.1

Factorisez $π$ à partir de $4 π$ .

$\frac{3}{π \cdot 4} (\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.4.2

Factorisez $π$ à partir de $\frac{4}{3} \cdot (π r^{3})$ .

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{π \cdot 4} (π (\frac{4}{3} \cdot (r^{3}))) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} \cdot (r^{3})) = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.5

Associez $\frac{4}{3}$ et $r^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 r^{3}}{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.6

Multipliez $\frac{3}{4}$ par $\frac{4 r^{3}}{3}$ .

$\frac{3 (4 r^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.7

Multipliez.

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Étape 3.1.1.7.1

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{4 \cdot 3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.7.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.8

Annulez le facteur commun de $12$ .

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Étape 3.1.1.8.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 r^{3}}{12} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.1.1.8.2

Divisez $r^{3}$ par $1$ .

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4}{3} π} V$

Étape 3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\frac{1}{\frac{4}{3} π} V$ .

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Étape 3.2.1.1

Associez $\frac{4}{3}$ et $π$ .

$r^{3} = \frac{1}{\frac{4 π}{3}} V$

Étape 3.2.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$r^{3} = 1 \frac{3}{4 π} V$

Étape 3.2.1.3

Multipliez $\frac{3}{4 π}$ par $1$ .

$r^{3} = \frac{3}{4 π} V$

Étape 3.2.1.4

Associez $\frac{3}{4 π}$ et $V$ .

$r^{3} = \frac{3 V}{4 π}$

Étape 4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$r = \sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$

Étape 5

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$ .

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Étape 5.1

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{3 V}{4 π}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{3 V}}{\sqrt[3]{4 π}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V}}{\sqrt[3]{4 π}}$

Étape 5.2

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 V}}{\sqrt[3]{4 π}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V}}{\sqrt[3]{4 π}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$

Étape 5.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{3 V}}{\sqrt[3]{4 π}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{\sqrt[3]{4 π} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$

Étape 5.3.2

Élevez $\sqrt[3]{4 π}$ à la puissance $1$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{1} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}$

Étape 5.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{1 + 2}}$

Étape 5.3.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{\sqrt[3]{4 π}}^{3}}$

Étape 5.3.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 π}}^{3}$ comme $4 π$ .

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Étape 5.3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 π}$ comme ${(4 π)}^{\frac{1}{3}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{({(4 π)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 5.3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.3.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.3.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{\frac{3}{3}}}$

Étape 5.3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{{(4 π)}^{1}}$

Étape 5.3.5.5

Simplifiez

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} {\sqrt[3]{4 π}}^{2}}{4 π}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 π}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(4 π)}^{2}}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} \sqrt[3]{{(4 π)}^{2}}}{4 π}$

Étape 5.4.2

Appliquez la règle de produit à $4 π$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} \sqrt[3]{4^{2} π^{2}}}{4 π}$

Étape 5.4.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} \sqrt[3]{16 π^{2}}}{4 π}$

Étape 5.4.4

Réécrivez $16 π^{2}$ comme $2^{3} \cdot (2 π^{2})$ .

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Étape 5.4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $16$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} \sqrt[3]{8 (2) π^{2}}}{4 π}$

Étape 5.4.4.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2 π^{2}}}{4 π}$

Étape 5.4.4.3

Ajoutez des parenthèses.

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} \sqrt[3]{2^{3} \cdot (2 π^{2})}}{4 π}$

Étape 5.4.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$r = \frac{\sqrt[3]{3 V} \cdot 2 \sqrt[3]{2 π^{2}}}{4 π}$

Étape 5.4.6

Associez les exposants.

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Étape 5.4.6.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$r = \frac{2 \sqrt[3]{3 V (2 π^{2})}}{4 π}$

Étape 5.4.6.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$r = \frac{2 \sqrt[3]{6 V π^{2}}}{4 π}$

Étape 5.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 5.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{6 V π^{2}}$ .

$r = \frac{2 (\sqrt[3]{6 V π^{2}})}{4 π}$

Étape 5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 π$ .

$r = \frac{2 (\sqrt[3]{6 V π^{2}})}{2 (2 π)}$

Étape 5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{2 \sqrt[3]{6 V π^{2}}}{2 (2 π)}$

Étape 5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{\sqrt[3]{6 V π^{2}}}{2 π}$