Algèbre Exemples

$(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$

Étape 1

Divisez chaque terme dans $(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ par $x + 4$ et simplifiez.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $(x + 4) (a x^{2} + b x + c) = - 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ par $x + 4$ .

$\frac{(x + 4) (a x^{2} + b x + c)}{x + 4} = \frac{- 2 x^{3}}{x + 4} + \frac{- 7 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Étape 1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 4) (a x^{2} + b x + c)}{x + 4} = \frac{- 2 x^{3}}{x + 4} + \frac{- 7 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Étape 1.2.1.2

Divisez $a x^{2} + b x + c$ par $1$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- 2 x^{3}}{x + 4} + \frac{- 7 x^{2}}{x + 4} + \frac{3 x}{x + 4} + \frac{- 4}{x + 4}$

Étape 1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a x^{2} + b x + c = \frac{- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$

Étape 1.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{3}$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3}) - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$

Étape 1.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 7 x^{2}$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3}) - (7 x^{2}) + 3 x - 4}{x + 4}$

Étape 1.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3}) - (7 x^{2})$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2}) + 3 x - 4}{x + 4}$

Étape 1.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 x$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2}) - (- 3 x) - 4}{x + 4}$

Étape 1.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3} + 7 x^{2}) - (- 3 x)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x) - 4}{x + 4}$

Étape 1.3.7

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x) - 1 (4)}{x + 4}$

Étape 1.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x) - 1 (4)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)}{x + 4}$

Étape 1.3.9

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.9.1

Réécrivez $- (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)$ comme $- 1 (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)$ .

$a x^{2} + b x + c = \frac{- 1 (2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4)}{x + 4}$

Étape 1.3.9.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a x^{2} + b x + c = - \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4}$

Étape 2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.1

Soustrayez $b x$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} + c = - \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4} - b x$

Étape 2.2

Soustrayez $c$ des deux côtés de l’équation.

$a x^{2} = - \frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4} - b x - c$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Divisez la fraction $\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x + 4}{x + 4}$ en deux fractions.

$a x^{2} = - (\frac{2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Étape 2.3.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3} + 7 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 2.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2}) + 7 x^{2} - 3 x}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Étape 2.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $7 x^{2}$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2}) + x (7 x) - 3 x}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Étape 2.3.2.3

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2}) + x (7 x) + x \cdot - 3}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Étape 2.3.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2}) + x (7 x)$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 3}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Étape 2.3.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x (2 x^{2} + 7 x) + x \cdot - 3$ .

$a x^{2} = - (\frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} + \frac{4}{x + 4}) - b x - c$

Étape 2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$a x^{2} = - \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $a x^{2} = - \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $a x^{2} = - \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c$ par $x^{2}$ .

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a x^{2}}{x^{2}} = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- \frac{4}{x + 4}}{x^{2}} + \frac{- b x}{x^{2}} + \frac{- c}{x^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{- \frac{x (2 x^{2} + 7 x - 3)}{x + 4} - \frac{4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$a = \frac{\frac{- x (2 x^{2} + 7 x - 3) - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$a = \frac{\frac{- x (2 x^{2}) - x (7 x) - x \cdot - 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

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Étape 3.3.2.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x \cdot x^{2} - x (7 x) - x \cdot - 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 7 x \cdot x - x \cdot - 3 - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x \cdot x^{2} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.3.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 (x^{2} x) - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 3.3.2.1.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{2 + 1} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$a = \frac{\frac{- 1 \cdot 2 x^{3} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot 7 x \cdot x + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.3

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.2.1.3.3.1

Déplacez $x$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot 7 (x \cdot x) + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.3.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 1 \cdot 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $7$ .

$a = \frac{\frac{- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.1.4

Factorisez $- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 3.3.2.1.4.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 3.3.2.1.4.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 4, \pm 2$

Étape 3.3.2.1.4.3

Remplacez $- 4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.3.2.1.4.3.1

Remplacez $- 4$ dans le polynôme.

$- 2 {(- 4)}^{3} - 7 {(- 4)}^{2} + 3 \cdot - 4 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$- 2 \cdot - 64 - 7 {(- 4)}^{2} + 3 \cdot - 4 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.3

Multipliez $- 2$ par $- 64$ .

$128 - 7 {(- 4)}^{2} + 3 \cdot - 4 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.4

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$128 - 7 \cdot 16 + 3 \cdot - 4 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.5

Multipliez $- 7$ par $16$ .

$128 - 112 + 3 \cdot - 4 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.6

Soustrayez $112$ de $128$ .

$16 + 3 \cdot - 4 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.7

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$16 - 12 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.8

Soustrayez $12$ de $16$ .

$4 - 4$

Étape 3.3.2.1.4.3.9

Soustrayez $4$ de $4$ .

$0$

Étape 3.3.2.1.4.4

Comme $- 4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4}{x + 4}$

Étape 3.3.2.1.4.5

Divisez $- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ par $x + 4$ .

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Étape 3.3.2.1.4.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{3}$

$7 x^{2}$

$3 x$

$4$

Étape 3.3.2.1.4.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$2 x^{2}$
	$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$

Étape 3.3.2.1.4.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x^{3} - 8 x^{2}$

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$

Étape 3.3.2.1.4.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Étape 3.3.2.1.4.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$

Étape 3.3.2.1.4.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					+	$x^{2}$	+	$4 x$

Étape 3.3.2.1.4.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{2} + 4 x$

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$

Étape 3.3.2.1.4.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$

Étape 3.3.2.1.4.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$

Étape 3.3.2.1.4.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$

Étape 3.3.2.1.4.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$
							-	$x$	-	$4$

Étape 3.3.2.1.4.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x - 4$

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$
							+	$x$	+	$4$

Étape 3.3.2.1.4.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$2 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
$x$	+	$4$	-	$2 x^{3}$	-	$7 x^{2}$	+	$3 x$	-	$4$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$
					+	$x^{2}$	+	$3 x$
					-	$x^{2}$	-	$4 x$
							-	$x$	-	$4$
							+	$x$	+	$4$
										$0$

Étape 3.3.2.1.4.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- 2 x^{2} + x - 1$

Étape 3.3.2.1.4.6

Écrivez $- 2 x^{3} - 7 x^{2} + 3 x - 4$ comme un ensemble de facteurs.

$a = \frac{\frac{(x + 4) (- 2 x^{2} + x - 1)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x + 4$ .

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{\frac{(x + 4) (- 2 x^{2} + x - 1)}{x + 4} - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.2.2.2

Divisez $- 2 x^{2} + x - 1$ par $1$ .

$a = \frac{- 2 x^{2} + x - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$a = \frac{- (2 x^{2}) + x - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$a = \frac{- (2 x^{2}) - 1 (- x) - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2}) - 1 (- x)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x) - 1 - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x) - 1 (1) - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} - x) - 1 (1)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1) - b x - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- b x$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1) - (b x) - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} - x + 1) - (b x)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1 + b x) - c}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- c$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1 + b x) - (c)}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} - x + 1 + b x) - (c)$ .

$a = \frac{- (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.10

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.10.1

Réécrivez $- (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)$ comme $- 1 (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)$ .

$a = \frac{- 1 (2 x^{2} - x + 1 + b x + c)}{x^{2}}$

Étape 3.3.3.10.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = - \frac{2 x^{2} - x + 1 + b x + c}{x^{2}}$