Algèbre Exemples

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) > 2$

Étape 1

Convertissez l’inégalité en une égalité.

$\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 2$

Étape 2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.1

Écrivez en forme exponentielle.

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Étape 2.1.1

Pour les équations logarithmiques, $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ de sorte que $x > 0$ , $b > 0$ et $b \neq 1$ . Dans ce cas, $b = 3$ , $x = {(x - 1)}^{2}$ et $y = 2$ .

$b = 3$

$x = {(x - 1)}^{2}$

$y = 2$

Étape 2.1.2

Remplacez les valeurs de $b$ , $x$ et $y$ dans l’équation $b^{y} = x$ .

$3^{2} = {(x - 1)}^{2}$

Étape 2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez l’équation comme ${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$ .

${(x - 1)}^{2} = 3^{2}$

Étape 2.2.2

Comme les exposants sont égaux, les bases des exposants des deux côtés de l’équation doivent être égales.

$| x - 1 | = | 3 |$

Étape 2.2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.2.3.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$x - 1 = \pm | 3 |$

Étape 2.2.3.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $3$ est $3$ .

$x - 1 = \pm 3$

Étape 2.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.2.3.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x - 1 = 3$

Étape 2.2.3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3 + 1$

Étape 2.2.3.3.2.2

Additionnez $3$ et $1$ .

$x = 4$

Étape 2.2.3.3.3

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x - 1 = - 3$

Étape 2.2.3.3.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.2.3.3.4.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = - 3 + 1$

Étape 2.2.3.3.4.2

Additionnez $- 3$ et $1$ .

$x = - 2$

Étape 2.2.3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4, - 2$

Étape 3

Déterminez le domaine de $\log_{3} ({(x - 1)}^{2}) - 2$ .

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Étape 3.1

Définissez l’argument dans $\log_{3} ({(x - 1)}^{2})$ supérieur à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

${(x - 1)}^{2} > 0$

Étape 3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’inégalité pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$\sqrt{{(x - 1)}^{2}} > \sqrt{0}$

Étape 3.2.2

Simplifiez l’équation.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1.1

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x - 1 | > \sqrt{0}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.2.1

Simplifiez $\sqrt{0}$ .

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Étape 3.2.2.2.1.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$| x - 1 | > \sqrt{0^{2}}$

Étape 3.2.2.2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| x - 1 | > | 0 |$

Étape 3.2.2.2.1.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$| x - 1 | > 0$

Étape 3.2.3

Écrivez $| x - 1 | > 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 3.2.3.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x - 1 \geq 0$

Étape 3.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 1$

Étape 3.2.3.3

Dans la partie où $x - 1$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$x - 1 > 0$

Étape 3.2.3.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x - 1 < 0$

Étape 3.2.3.5

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 1$

Étape 3.2.3.6

Dans la partie où $x - 1$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- (x - 1) > 0$

Étape 3.2.3.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - (x - 1) > 0 & x < 1 \end{cases}$

Étape 3.2.3.8

Simplifiez $- (x - 1) > 0$ .

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Étape 3.2.3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x - - 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Étape 3.2.3.8.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

${\begin{cases} x - 1 > 0 & x \geq 1 \\ - x + 1 > 0 & x < 1 \end{cases}$

Étape 3.2.4

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x > 1$

Étape 3.2.5

Résolvez $- x + 1 > 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.5.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x > - 1$

Étape 3.2.5.2

Divisez chaque terme dans $- x > - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.2.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x > - 1$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.5.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.2.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x < 1$

Étape 3.2.6

Déterminez l’union des solutions.

$x < 1$ ou $x > 1$

Étape 3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 4

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 4$

$x > 4$

Étape 5

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 5.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 4$

Étape 5.1.2

Remplacez $x$ par $- 4$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{3} ({((- 4) - 1)}^{2}) > 2$

Étape 5.1.3

Le côté gauche $2.92994704$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 5.2.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{3} ({((0) - 1)}^{2}) > 2$

Étape 5.2.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.3

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 2$

Étape 5.3.2

Remplacez $x$ par $2$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{3} ({((2) - 1)}^{2}) > 2$

Étape 5.3.3

Le côté gauche $0$ n’est pas supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

Faux

Étape 5.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 5.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 6$

Étape 5.4.2

Remplacez $x$ par $6$ dans l’inégalité d’origine.

$\log_{3} ({((6) - 1)}^{2}) > 2$

Étape 5.4.3

Le côté gauche $2.92994704$ est supérieur au côté droit $2$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

Vrai

Étape 5.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

$x < - 2$ Vrai

$- 2 < x < 1$ Faux

$1 < x < 4$ Faux

$x > 4$ Vrai

Étape 6

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 2$ ou $x > 4$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 2 or x > 4$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (4, \infty)$

Étape 8