Algèbre Exemples

$\frac{3}{a + 2} + \frac{4}{2 - a} - \frac{6}{a^{2} - 4}$

Étape 1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{3}{a + 2} + \frac{4}{2 - a} - \frac{6}{a^{2} - 2^{2}}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a$ et $b = 2$ .

$\frac{3}{a + 2} + \frac{4}{2 - a} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 2

Pour écrire $\frac{3}{a + 2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 - a}{2 - a}$ .

$\frac{3}{a + 2} \cdot \frac{2 - a}{2 - a} + \frac{4}{2 - a} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 3

Pour écrire $\frac{4}{2 - a}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{3}{a + 2} \cdot \frac{2 - a}{2 - a} + \frac{4}{2 - a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(a + 2) (2 - a)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.1

Multipliez $\frac{3}{a + 2}$ par $\frac{2 - a}{2 - a}$ .

$\frac{3 (2 - a)}{(a + 2) (2 - a)} + \frac{4}{2 - a} \cdot \frac{a + 2}{a + 2} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 4.2

Multipliez $\frac{4}{2 - a}$ par $\frac{a + 2}{a + 2}$ .

$\frac{3 (2 - a)}{(a + 2) (2 - a)} + \frac{4 (a + 2)}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 4.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 2) (2 - a)$ .

$\frac{3 (2 - a)}{(2 - a) (a + 2)} + \frac{4 (a + 2)}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 (2 - a) + 4 (a + 2)}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{3 \cdot 2 + 3 (- a) + 4 (a + 2)}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 6.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{6 + 3 (- a) + 4 (a + 2)}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{6 - 3 a + 4 (a + 2)}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 - 3 a + 4 a + 4 \cdot 2}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 6.5

Multipliez $4$ par $2$ .

$\frac{6 - 3 a + 4 a + 8}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 6.6

Additionnez $6$ et $8$ .

$\frac{- 3 a + 4 a + 14}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 6.7

Additionnez $- 3 a$ et $4 a$ .

$\frac{a + 14}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (a - 2)}$

Étape 7

Simplifiez en factorisant.

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Étape 7.1

Factorisez $- 1$ à partir de $a$ .

$\frac{a + 14}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (- 1 (- a) - 2)}$

Étape 7.2

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{a + 14}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (- 1 (- a) - 1 (2))}$

Étape 7.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- a) - 1 (2)$ .

$\frac{a + 14}{(2 - a) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (- 1 (- a + 2))}$

Étape 7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{a + 14}{(- a + 2) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (- 1 (- a + 2))}$

Étape 8

Pour écrire $\frac{a + 14}{(- a + 2) (a + 2)}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{a + 14}{(- a + 2) (a + 2)} \cdot \frac{- 1}{- 1} - \frac{6}{(a + 2) (- 1 (- a + 2))}$

Étape 9

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(- a + 2) (a + 2) \cdot - 1$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 9.1

Multipliez $\frac{a + 14}{(- a + 2) (a + 2)}$ par $\frac{- 1}{- 1}$ .

$\frac{(a + 14) \cdot - 1}{(- a + 2) (a + 2) \cdot - 1} - \frac{6}{(a + 2) (- 1 (- a + 2))}$

Étape 9.2

Réorganisez les facteurs de $(- a + 2) (a + 2) \cdot - 1$ .

$\frac{(a + 14) \cdot - 1}{- (- a + 2) (a + 2)} - \frac{6}{(a + 2) (- 1 (- a + 2))}$

Étape 9.3

Réorganisez les facteurs de $(a + 2) (- 1 (- a + 2))$ .

$\frac{(a + 14) \cdot - 1}{- (- a + 2) (a + 2)} - \frac{6}{- (- a + 2) (a + 2)}$

Étape 10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{(a + 14) \cdot - 1 - 6}{- (- a + 2) (a + 2)}$

Étape 11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a \cdot - 1 + 14 \cdot - 1 - 6}{- (- a + 2) (a + 2)}$

Étape 11.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $a$ .

$\frac{- 1 \cdot a + 14 \cdot - 1 - 6}{- (- a + 2) (a + 2)}$

Étape 11.3

Multipliez $14$ par $- 1$ .

$\frac{- 1 \cdot a - 14 - 6}{- (- a + 2) (a + 2)}$

Étape 11.4

Réécrivez $- 1 a$ comme $- a$ .

$\frac{- a - 14 - 6}{- (- a + 2) (a + 2)}$

Étape 11.5

Soustrayez $6$ de $- 14$ .

$\frac{- a - 20}{- (- a + 2) (a + 2)}$

Étape 12

Simplifiez les termes.

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Étape 12.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{- a - 20}{(- a + 2) (a + 2)}$

Étape 12.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$- \frac{- (a) - 20}{(- a + 2) (a + 2)}$

Étape 12.3

Réécrivez $- 20$ comme $- 1 (20)$ .

$- \frac{- (a) - 1 (20)}{(- a + 2) (a + 2)}$

Étape 12.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (20)$ .

$- \frac{- (a + 20)}{(- a + 2) (a + 2)}$

Étape 12.5

Réécrivez $- (a + 20)$ comme $- 1 (a + 20)$ .

$- \frac{- 1 (a + 20)}{(- a + 2) (a + 2)}$

Étape 12.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- a$ .

$- \frac{- 1 (a + 20)}{(- (a) + 2) (a + 2)}$

Étape 12.7

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$- \frac{- 1 (a + 20)}{(- (a) - 1 (- 2)) (a + 2)}$

Étape 12.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a) - 1 (- 2)$ .

$- \frac{- 1 (a + 20)}{- (a - 2) (a + 2)}$

Étape 12.9

Réécrivez $- (a - 2)$ comme $- 1 (a - 2)$ .

$- \frac{- 1 (a + 20)}{- 1 (a - 2) (a + 2)}$

Étape 12.10

Annulez le facteur commun.

$- \frac{- 1 (a + 20)}{- 1 (a - 2) (a + 2)}$

Étape 12.11

Réécrivez l’expression.

$- \frac{a + 20}{(a - 2) (a + 2)}$