Algèbre Exemples

${(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{\sqrt{2}}{5} i)}^{2}$

Étape 1

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{5}$ .

${(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})}^{2}$

Étape 1.2

Réécrivez ${(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})}^{2}$ comme $(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

$(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 2

Développez $(\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3}}{5} (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} (\frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5}$ .

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Étape 3.1.1.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{5}$ par $\frac{\sqrt{3}}{5}$ .

$\frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.1.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{5 \cdot 5} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.1.6

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{1}}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{25} + \frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5}) - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.3

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

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Étape 3.1.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{5}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{3} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.3.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.3.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.3.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.4

Multipliez $- \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{5}$ .

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Étape 3.1.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{3}}{5}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{3} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.4.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{2 \cdot 3} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.4.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{5 \cdot 5} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.4.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$

Étape 3.1.5

Multipliez $- \frac{i \sqrt{2}}{5} (- \frac{i \sqrt{2}}{5})$ .

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Étape 3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + 1 \frac{i \sqrt{2}}{5} \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.1.5.2

Multipliez $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ par $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i \sqrt{2}}{5} \cdot \frac{i \sqrt{2}}{5}$

Étape 3.1.5.3

Multipliez $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ par $\frac{i \sqrt{2}}{5}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i \sqrt{2} (i \sqrt{2})}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.4

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{1} i \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.5

Élevez $i$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{1} i^{1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{1 + 1} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} \sqrt{2} \sqrt{2}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.8

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.9

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{5 \cdot 5}$

Étape 3.1.5.12

Multipliez $5$ par $5$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{i^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{25}$

Étape 3.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.1.6.1

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{25}$

Étape 3.1.6.2

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.1.6.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{25}$

Étape 3.1.6.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{25}$

Étape 3.1.6.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{25}$

Étape 3.1.6.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.6.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{25}$

Étape 3.1.6.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2^{1}}{25}$

Étape 3.1.6.2.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 1 \cdot 2}{25}$

Étape 3.1.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} + \frac{- 2}{25}$

Étape 3.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{2}{25}$

Étape 3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 - 2}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25}$

Étape 3.3

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{1}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25} - \frac{\sqrt{6} i}{25}$

Étape 3.4

Soustrayez $\frac{\sqrt{6} i}{25}$ de $- \frac{\sqrt{6} i}{25}$ .

$\frac{1}{25} - 2 \frac{\sqrt{6} i}{25}$

Étape 4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1

Associez $- 2$ et $\frac{\sqrt{6} i}{25}$ .

$\frac{1}{25} + \frac{- 2 (\sqrt{6} i)}{25}$

Étape 4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{25} - \frac{2 \sqrt{6} i}{25}$