Algèbre Exemples

$\frac{3 x}{x - 1} \leq \frac{x}{x + 4} + 3$

Étape 1

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 1.1

Soustrayez $\frac{x}{x + 4}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} \leq 3$

Étape 1.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{3 x}{x - 1} - \frac{x}{x + 4} - 3$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $\frac{3 x}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} - 3 \leq 0$

Étape 2.2

Pour écrire $- \frac{x}{x + 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x}{x - 1} \cdot \frac{x + 4}{x + 4} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

Étape 2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x - 1) (x + 4)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $\frac{3 x}{x - 1}$ par $\frac{x + 4}{x + 4}$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x}{x + 4} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - 3 \leq 0$

Étape 2.3.2

Multipliez $\frac{x}{x + 4}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (x + 4)$ .

$\frac{3 x (x + 4)}{(x + 4) (x - 1)} - \frac{x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 x (x + 4) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x (x + 4) - x (x - 1)$ .

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Étape 2.5.1.1

Factorisez $x$ à partir de $3 x (x + 4)$ .

$\frac{x (3 (x + 4)) - x (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x (x - 1)$ .

$\frac{x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (3 (x + 4)) + x (- (x - 1))$ .

$\frac{x (3 (x + 4) - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x + 3 \cdot 4 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{x (3 x + 12 - (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (3 x + 12 - x - - 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x (3 x + 12 - x + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.6

Soustrayez $x$ de $3 x$ .

$\frac{x (2 x + 12 + 1)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.5.7

Additionnez $12$ et $1$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \leq 0$

Étape 2.6

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} - 3 \cdot \frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.7

Associez $- 3$ et $\frac{(x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

$\frac{x (2 x + 13)}{(x + 4) (x - 1)} + \frac{- 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x (2 x + 13) - 3 ((x + 4) (x - 1))}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (2 x) + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot 13 - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.3

Déplacez $13$ à gauche de $x$ .

$\frac{2 x \cdot x + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.4.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 \cdot x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x + 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 3 \cdot 4) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.6

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x + (- 3 x - 12) (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.7

Développez $(- 3 x - 12) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.9.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x (x - 1) - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 (x - 1)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.7.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x \cdot x - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.8

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.9.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.8.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.9.8.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 (x \cdot x) - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.8.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 3 x \cdot - 1 - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x - 12 \cdot - 1}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.8.1.3

Multipliez $- 12$ par $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} + 3 x - 12 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.8.2

Soustrayez $12 x$ de $3 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 13 x - 3 x^{2} - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.9

Soustrayez $3 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} + 13 x - 9 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.10

Soustrayez $9 x$ de $13 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.11

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.9.11.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 2.9.11.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{- x^{2} + 4 (x) + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.11.1.2

Réécrivez $4$ comme $- 2$ plus $6$

$\frac{- x^{2} + (- 2 + 6) x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.11.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{- x^{2} - 2 x + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.11.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.9.11.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(- x^{2} - 2 x) + 6 x + 12}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.11.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{x (- x - 2) - 6 (- x - 2)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.9.11.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $- x - 2$ .

$\frac{(- x - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$\frac{(- (x) - 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.11

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$\frac{(- (x) - 1 (2)) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.12

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x) - 1 (2)$ .

$\frac{- (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.13

Réécrivez $- (x + 2)$ comme $- 1 (x + 2)$ .

$\frac{- 1 (x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 2.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x + 2 = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 4

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 6$

Étape 6

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 7

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 8

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = - 2$

$x = 6$

$x = - 4$

$x = 1$

Étape 9

Consolidez les solutions.

$x = - 2, 6, - 4, 1$

Étape 10

Déterminez le domaine de $- \frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ .

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Étape 10.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 2) (x - 6)}{(x + 4) (x - 1)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x + 4) (x - 1) = 0$

Étape 10.2

Résolvez $x$ .

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Étape 10.2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 10.2.2

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.2.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 10.2.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 10.2.3

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.2.3.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 10.2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 10.2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = - 4, 1$

Étape 10.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 11

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 2$

$- 2 < x < 1$

$1 < x < 6$

$x > 6$

Étape 12

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 12.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 12.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 6)}{(- 6) - 1} \leq \frac{- 6}{(- 6) + 4} + 3$

Étape 12.1.3

Le côté gauche $2.\overline{571428}$ est inférieur au côté droit $6$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 2$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3$

Étape 12.2.2

Remplacez $x$ par $- 3$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (- 3)}{(- 3) - 1} \leq \frac{- 3}{(- 3) + 4} + 3$

Étape 12.2.3

Le côté gauche $2.25$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 2 < x < 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 12.3.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (0)}{(0) - 1} \leq \frac{0}{(0) + 4} + 3$

Étape 12.3.3

Le côté gauche $0$ est inférieur au côté droit $3$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.4

Testez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $1 < x < 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 4$

Étape 12.4.2

Remplacez $x$ par $4$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (4)}{(4) - 1} \leq \frac{4}{(4) + 4} + 3$

Étape 12.4.3

Le côté gauche $4$ est supérieur au côté droit $3.5$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 12.5

Testez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 12.5.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > 6$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 8$

Étape 12.5.2

Remplacez $x$ par $8$ dans l’inégalité d’origine.

$\frac{3 (8)}{(8) - 1} \leq \frac{8}{(8) + 4} + 3$

Étape 12.5.3

Le côté gauche $3.\overline{428571}$ est inférieur au côté droit $3.\overline{6}$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 12.6

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

$x < - 4$ Vrai

$- 4 < x < - 2$ Faux

$- 2 < x < 1$ Vrai

$1 < x < 6$ Faux

$x > 6$ Vrai

Étape 13

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$x < - 4$ ou $- 2 \leq x < 1$ ou $x \geq 6$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme d’inégalité :

$x < - 4 or - 2 \leq x < 1 or x \geq 6$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 4) \cup [- 2, 1) \cup [6, \infty)$

Étape 15