Algèbre Exemples

$\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1}) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{x^{2} - 1^{2}}) = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$

Étape 2

Réécrivez $\log_{16} (\frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}) = \frac{1}{2}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$16^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x + 5}{(x + 1) (x - 1)}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$9 x + 5 = 16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4

Simplifiez $16^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$ .

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Étape 4.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.1.1

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$9 x + 5 = {(4^{2})}^{\frac{1}{2}} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.1.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$9 x + 5 = 4^{2 (\frac{1}{2})} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$9 x + 5 = 4^{1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.1.4

Évaluez l’exposant.

$9 x + 5 = 4 ((x + 1) (x - 1))$

Étape 4.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 5 = 4 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

Étape 4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

Étape 4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 5 = 4 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

Étape 4.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - x + x - 1)$

Étape 4.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} + 0 - 1)$

Étape 4.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$9 x + 5 = 4 (x^{2} - 1)$

Étape 4.4

Appliquez la propriété distributive.

$9 x + 5 = 4 x^{2} + 4 \cdot - 1$

Étape 4.5

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$9 x + 5 = 4 x^{2} - 4$

Étape 5

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$9 x + 5 - 4 x^{2} = - 4$

Étape 6

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$9 x - 4 x^{2} = - 4 - 5$

Étape 6.2

Soustrayez $5$ de $- 4$ .

$9 x - 4 x^{2} = - 9$

Étape 7

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$9 x - 4 x^{2} + 9 = 0$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $- 1$ à partir de $9 x - 4 x^{2} + 9$ .

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Étape 8.1.1

Remettez dans l’ordre $9 x$ et $- 4 x^{2}$ .

$- 4 x^{2} + 9 x + 9 = 0$

Étape 8.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x^{2}$ .

$- (4 x^{2}) + 9 x + 9 = 0$

Étape 8.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $9 x$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) + 9 = 0$

Étape 8.1.4

Réécrivez $9$ comme $- 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Étape 8.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2}) - (- 9 x)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x) - 1 \cdot - 9 = 0$

Étape 8.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x^{2} - 9 x) - 1 (- 9)$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 8.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot - 9 = - 36$ et dont la somme est $b = - 9$ .

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Étape 8.2.1.1.1

Factorisez $- 9$ à partir de $- 9 x$ .

$- (4 x^{2} - 9 x - 9) = 0$

Étape 8.2.1.1.2

Réécrivez $- 9$ comme $3$ plus $- 12$

$- (4 x^{2} + (3 - 12) x - 9) = 0$

Étape 8.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- (4 x^{2} + 3 x - 12 x - 9) = 0$

Étape 8.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 8.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- ((4 x^{2} + 3 x) - 12 x - 9) = 0$

Étape 8.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- (x (4 x + 3) - 3 (4 x + 3)) = 0$

Étape 8.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 x + 3$ .

$- ((4 x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (4 x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 10

Définissez $4 x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 10.1

Définissez $4 x + 3$ égal à $0$ .

$4 x + 3 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $4 x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 10.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$4 x = - 3$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x = - 3$ par $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3}{4}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{4}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3}{4}$

Étape 11

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 11.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 12

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (4 x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - \frac{3}{4}, 3$

Étape 13

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{16} (9 x + 5) - \log_{16} (x^{2} - 1) = \frac{1}{2}$ vrai.

$x = 3$