Algèbre Exemples

${(x + 4)}^{2} {(x - 1)}^{3} = 0$

Étape 1

Simplifiez et remettez le polynôme dans l’ordre.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$(x + 4) (x + 4) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x (x + 4) + 4 (x + 4)) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$(x^{2} + 4 x + 4 x + 16) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$(x^{2} + 8 x + 16) {(x - 1)}^{3}$

Étape 1.4

Utilisez le théorème du binôme.

$(x^{2} + 8 x + 16) (x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 1 + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$(x^{2} + 8 x + 16) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.5.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$(x^{2} + 8 x + 16) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x \cdot 1 + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.5.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x^{2} + 8 x + 16) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x + {(- 1)}^{3})$

Étape 1.5.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$(x^{2} + 8 x + 16) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$

Étape 1.6

Développez $(x^{2} + 8 x + 16) (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$x^{2} x^{3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7

Simplifiez les termes.

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Étape 1.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.7.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{2 + 3} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.1.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$x^{5} + x^{2} (- 3 x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} - 3 x^{2} x^{2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.3.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 3 x^{2 + 2} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.3.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + x^{2} (3 x) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{2} x + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.5.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 1.7.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} + x^{2} \cdot - 1 + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.6

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - 1 \cdot x^{2} + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.7

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x \cdot x^{3} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.8

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.8.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 (x^{3} x) + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.8.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 1.7.1.8.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 (x^{3} x^{1}) + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.8.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{3 + 1} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.8.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} + 8 x (- 3 x^{2}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.9

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.10

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.10.1

Déplacez $x^{2}$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.10.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.7.1.10.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.10.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.10.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} + 8 \cdot - 3 x^{3} + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.11

Multipliez $8$ par $- 3$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 8 x (3 x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.12

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 8 \cdot 3 x \cdot x + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.13

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.7.1.13.1

Déplacez $x$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 8 \cdot 3 (x \cdot x) + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.13.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 8 \cdot 3 x^{2} + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.14

Multipliez $8$ par $3$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 24 x^{2} + 8 x \cdot - 1 + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.15

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 16 x^{3} + 16 (- 3 x^{2}) + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.16

Multipliez $- 3$ par $16$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 16 x^{3} - 48 x^{2} + 16 (3 x) + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.17

Multipliez $3$ par $16$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 16 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x + 16 \cdot - 1$

Étape 1.7.1.18

Multipliez $16$ par $- 1$ .

$x^{5} - 3 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} + 8 x^{4} - 24 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 16 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 1.7.2

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 1.7.2.1

Additionnez $- 3 x^{4}$ et $8 x^{4}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} + 3 x^{3} - x^{2} - 24 x^{3} + 24 x^{2} - 8 x + 16 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 1.7.2.2

Soustrayez $24 x^{3}$ de $3 x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 21 x^{3} - x^{2} + 24 x^{2} - 8 x + 16 x^{3} - 48 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 1.7.2.3

Additionnez $- 21 x^{3}$ et $16 x^{3}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 x^{3} - x^{2} + 24 x^{2} - 8 x - 48 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 1.7.2.4

Additionnez $- x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 x^{3} + 23 x^{2} - 8 x - 48 x^{2} + 48 x - 16$

Étape 1.7.2.5

Soustrayez $48 x^{2}$ de $23 x^{2}$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} - 8 x + 48 x - 16$

Étape 1.7.2.6

Additionnez $- 8 x$ et $48 x$ .

$x^{5} + 5 x^{4} - 5 x^{3} - 25 x^{2} + 40 x - 16$

Étape 2

Le plus grand exposant est le degré d’un polynôme.

$5$