Algèbre Exemples

$x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x} = 0$

Étape 1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} + x e^{x} - e^{x}$ .

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Étape 1.1

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + x e^{x} - e^{x} = 0$

Étape 1.2

Factorisez $e^{x}$ à partir de $x e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} x - e^{x} = 0$

Étape 1.3

Factorisez $e^{x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} + e^{x} x + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.4

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} x^{2} + e^{x} x$ .

$e^{x} (x^{2} + x) + e^{x} \cdot - 1 = 0$

Étape 1.5

Factorisez $e^{x}$ à partir de $e^{x} (x^{2} + x) + e^{x} \cdot - 1$ .

$e^{x} (x^{2} + x - 1) = 0$

Étape 2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$e^{x} = 0$

$x^{2} + x - 1 = 0$

Étape 3

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 3.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 3.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 3.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 3.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 3.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 4

Définissez $x^{2} + x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Définissez $x^{2} + x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + x - 1 = 0$

Étape 4.2

Résolvez $x^{2} + x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Simplifiez

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Étape 4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Étape 4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.1.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Étape 4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $e^{x} (x^{2} + x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

Forme décimale :

$x = 0.61803398 \dots, - 1.61803398 \dots$