Algèbre Exemples

$f (x) = {| - x |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1

Déterminez le sommet de la valeur absolue. Dans ce cas, le sommet de $y = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ est $(0, 0)$ .

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Étape 1.1

Pour déterminer la coordonnée $x$ du sommet, définissez l’intérieur de la valeur absolue $x$ égal à $0$ . Dans ce cas, $x = 0$ .

$x = 0$

Étape 1.2

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$y = {| 0 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez ${| 0 |}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.3.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$y = 0^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$y = {(0^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 1.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y = 0^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 1.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y = 0$

Étape 1.3.4

Évaluez l’exposant.

$y = 0$

Étape 1.4

Le sommet de la valeur absolue est $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Étape 2

Déterminez le domaine pour $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ afin de pouvoir sélectionner une liste de valeurs $x$ pour déterminer une liste de points et faciliter la représentation graphique de la fonction de valeur absolue.

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Étape 2.1

Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.1.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\sqrt{{| x |}^{1}}$

Étape 2.1.2

Toute valeur élevée à $1$ est la base elle-même.

$\sqrt{| x |}$

Étape 2.2

Définissez le radicande dans $\sqrt{| x |}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$| x | \geq 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Écrivez $| x | \geq 0$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 2.3.1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x \geq 0$

Étape 2.3.1.2

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x < 0$

Étape 2.3.1.3

Dans la partie où $x$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$- x \geq 0$

Étape 2.3.1.4

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} x \geq 0 & x \geq 0 \\ - x \geq 0 & x < 0 \end{cases}$

Étape 2.3.2

Déterminez l’intersection de $x \geq 0$ et $x \geq 0$ .

$x \geq 0$

Étape 2.3.3

Résolvez $- x \geq 0$ quand $x < 0$ .

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Étape 2.3.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 2.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq 0$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{0}{- 1}$

Étape 2.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$x \leq 0$

Étape 2.3.3.2

Déterminez l’intersection de $x \leq 0$ et $x < 0$ .

$x < 0$

Étape 2.3.4

Déterminez l’union des solutions.

Tous les nombres réels

Étape 2.4

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 3

Pour chaque valeur $x$ , il y a une valeur $y$ . Sélectionnez quelques valeurs $x$ depuis le domaine. Il serait plus utile de sélectionner les valeurs de sorte qu’elles soient proches de la valeur $x$ du sommet de la valeur absolue.

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Étape 3.1

Remplacez la valeur $x$ $- 2$ dans $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(- 2, 2^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f (- 2) = {| - 2 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.1.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 2$ et $0$ est $2$ .

$f (- 2) = 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.1.2.2

La réponse finale est $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2

Remplacez la valeur $x$ $- 1$ dans $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(- 1, 1)$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {| - 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 1$ et $0$ est $1$ .

$f (- 1) = 1^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (- 1) = 1$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 3.3

Remplacez la valeur $x$ $2$ dans $f (x) = {| x |}^{\frac{1}{2}}$ . Dans ce cas, le point est $(2, 2^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f (2) = {| 2 |}^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $2$ est $2$ .

$f (2) = 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.3.2.2

La réponse finale est $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = 2^{\frac{1}{2}}$

Étape 3.4

La valeur absolue peut être représentée avec les points autour du sommet $(0, 0), (- 2, 1.41), (- 1, 1), (1, 1), (2, 1.41)$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 2 & 1.41 \\ - 1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1 \\ 2 & 1.41 \end{array}$

Étape 4