Algèbre Exemples

$\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{5} (\frac{4 x^{2} - 6}{4 x + 1}) = 1$

Étape 1.2

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 6$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) - 6}{4 x + 1}) = 1$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)}{4 x + 1}) = 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$

Étape 2

Réécrivez $\log_{5} (\frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$5^{1} = \frac{2 (2 x^{2} - 3)}{4 x + 1}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x + 1)$

Étape 4

Simplifiez $5 (4 x + 1)$ .

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x^{2} - 3) = 5 (4 x) + 5 \cdot 1$

Étape 4.2

Multipliez.

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Étape 4.2.1

Multipliez $4$ par $5$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5 \cdot 1$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$2 (2 x^{2} - 3) = 20 x + 5$

Étape 5

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.1

Soustrayez $20 x$ des deux côtés de l’équation.

$2 (2 x^{2} - 3) - 20 x = 5$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x^{2}) + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Étape 5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 2 \cdot - 3 - 20 x = 5$

Étape 5.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$4 x^{2} - 6 - 20 x = 5$

Étape 6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 6.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} - 6 - 20 x$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2}$ .

$2 (2 x^{2}) - 6 - 20 x = 5$

Étape 6.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) - 20 x = 5$

Étape 6.1.3

Factorisez $2$ à partir de $- 20 x$ .

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Étape 6.1.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2}) + 2 (- 3)$ .

$2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x) = 5$

Étape 6.1.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{2} - 3) + 2 (- 10 x)$ .

$2 (2 x^{2} - 3 - 10 x) = 5$

Étape 6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $2 (2 x^{2} - 10 x - 3) = 5$ par $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{2} - 10 x - 3)}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $2 x^{2} - 10 x - 3$ par $1$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 = \frac{5}{2}$

Étape 8

Déplacez tous les termes du côté gauche de l’équation et simplifiez.

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Étape 8.1

Soustrayez $\frac{5}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2} = 0$

Étape 8.2

Simplifiez $2 x^{2} - 10 x - 3 - \frac{5}{2}$ .

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Étape 8.2.1

Pour écrire $- 3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x - 3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Étape 8.2.2

Associez $- 3$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - \frac{5}{2} = 0$

Étape 8.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 3 \cdot 2 - 5}{2} = 0$

Étape 8.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 6 - 5}{2} = 0$

Étape 8.2.4.2

Soustrayez $5$ de $- 6$ .

$2 x^{2} - 10 x + \frac{- 11}{2} = 0$

Étape 8.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 x^{2} - 10 x - \frac{11}{2} = 0$

Étape 9

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 9.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (2 x^{2}) + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Étape 9.2

Simplifiez

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Étape 9.2.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x^{2} + 2 (- 10 x) + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Étape 9.2.2

Multipliez $- 10$ par $2$ .

$4 x^{2} - 20 x + 2 (- \frac{11}{2}) = 0$

Étape 9.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{11}{2}$ dans le numérateur.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Étape 9.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$4 x^{2} - 20 x + 2 (\frac{- 11}{2}) = 0$

Étape 9.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 x^{2} - 20 x - 11 = 0$

Étape 10

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 11

Remplacez les valeurs $a = 4$ , $b = - 20$ et $c = - 11$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (4 \cdot - 11)}}{2 \cdot 4}$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.1.1

Élevez $- 20$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 4 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Étape 12.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 4 \cdot - 11$ .

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Étape 12.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 16 \cdot - 11}}{2 \cdot 4}$

Étape 12.1.2.2

Multipliez $- 16$ par $- 11$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 176}}{2 \cdot 4}$

Étape 12.1.3

Additionnez $400$ et $176$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{576}}{2 \cdot 4}$

Étape 12.1.4

Réécrivez $576$ comme $24^{2}$ .

$x = \frac{20 \pm \sqrt{24^{2}}}{2 \cdot 4}$

Étape 12.1.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{20 \pm 24}{2 \cdot 4}$

Étape 12.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$x = \frac{20 \pm 24}{8}$

Étape 12.3

Simplifiez $\frac{20 \pm 24}{8}$ .

$x = \frac{5 \pm 6}{2}$

Étape 13

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{11}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 14

Excluez les solutions qui ne rendent pas $\log_{5} (4 x^{2} - 6) - \log_{5} (4 x + 1) = 1$ vrai.

$x = \frac{11}{2}$

Étape 15

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{11}{2}$

Forme décimale :

$x = 5.5$

Forme de nombre mixte :

$x = 5 \frac{1}{2}$