Algèbre Exemples

$f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ comme une équation.

$y = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = {(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme ${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}} = x$ .

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}} = x$

Étape 3.2

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $7$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} = x^{7}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Simplifiez ${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.3.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 3.3.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Étape 3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(\frac{y + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} = x^{7}$

Étape 3.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(\frac{y + 2}{7})}^{1} = x^{7}$

Étape 3.3.1.2

Divisez la fraction $\frac{y + 2}{7}$ en deux fractions.

${(\frac{y}{7} + \frac{2}{7})}^{1} = x^{7}$

Étape 3.3.1.3

Simplifiez

$\frac{y}{7} + \frac{2}{7} = x^{7}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $\frac{2}{7}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{7} = x^{7} - \frac{2}{7}$

Étape 3.4.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $7$ .

$7 \frac{y}{7} = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Étape 3.4.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$7 \frac{y}{7} = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Étape 3.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = 7 (x^{7} - \frac{2}{7})$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.2.1

Simplifiez $7 (x^{7} - \frac{2}{7})$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = 7 x^{7} + 7 (- \frac{2}{7})$

Étape 3.4.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 3.4.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{7}$ dans le numérateur.

$y = 7 x^{7} + 7 (\frac{- 2}{7})$

Étape 3.4.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = 7 x^{7} + 7 (\frac{- 2}{7})$

Étape 3.4.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = 7 x^{7} - 2$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Multipliez les exposants dans ${({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2$

Étape 5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2$

Étape 5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = 7 (\frac{x + 2}{7}) - 2$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x + 2 - 2$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 2 - 2$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} ({(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (7 x^{7} - 2)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{(7 x^{7} - 2) + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7} + 0}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $7 x^{7}$ et $0$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7}}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (7 x^{7} - 2) = {(\frac{7 x^{7}}{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.4.1.2

Divisez $x^{7}$ par $1$ .

$f (7 x^{7} - 2) = {(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$

Étape 5.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (7 x^{7} - 2) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Étape 5.3.4.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (7 x^{7} - 2) = x^{7 (\frac{1}{7})}$

Étape 5.3.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (7 x^{7} - 2) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$ est l’inverse de $f (x) = {(\frac{x + 2}{7})}^{\frac{1}{7}}$ .

$f^{- 1} (x) = 7 x^{7} - 2$