Algèbre Exemples

$\log_{2 x} (2 x^{2} + 6 x - 4) = 2$

Étape 1

Réécrivez $\log_{2 x} (2 x^{2} + 6 x - 4) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

${(2 x)}^{2} = 2 x^{2} + 6 x - 4$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$2 x^{2} + 6 x - 4 = {(2 x)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez ${(2 x)}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Appliquez la règle de produit à $2 x$ .

$2 x^{2} + 6 x - 4 = 2^{2} x^{2}$

Étape 2.2.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 x^{2} + 6 x - 4 = 4 x^{2}$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} + 6 x - 4 - 4 x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $4 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Étape 2.4

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.4.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2} + 6 x - 4$ .

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Étape 2.4.1.1

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$- 2 x^{2} + 6 x - 4 = 0$

Étape 2.4.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $6 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 4 = 0$

Étape 2.4.1.3

Factorisez $- 2$ à partir de $- 4$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Étape 2.4.1.4

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2}) - 2 (- 3 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 \cdot 2 = 0$

Étape 2.4.1.5

Factorisez $- 2$ à partir de $- 2 (x^{2} - 3 x) - 2 (2)$ .

$- 2 (x^{2} - 3 x + 2) = 0$

Étape 2.4.2

Factorisez.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x^{2} - 3 x + 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.4.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 2.4.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 2 ((x - 2) (x - 1)) = 0$

Étape 2.4.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$

Étape 2.5

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.7

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.7.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.7.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.8

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 2 (x - 2) (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 2, 1$