Algèbre Exemples

$\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$

Étape 1

Réécrivez $\log_{- 2 x - 3} (3 x^{2} + x - 19) = 2$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

${(- 2 x - 3)}^{2} = 3 x^{2} + x - 19$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Comme $x$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x^{2} + x - 19 = {(- 2 x - 3)}^{2}$

Étape 2.2

Simplifiez ${(- 2 x - 3)}^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Réécrivez.

$3 x^{2} + x - 19 = 0 + 0 + {(- 2 x - 3)}^{2}$

Étape 2.2.2

Réécrivez ${(- 2 x - 3)}^{2}$ comme $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ .

$3 x^{2} + x - 19 = (- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$

Étape 2.2.3

Développez $(- 2 x - 3) (- 2 x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x - 3) - 3 (- 2 x - 3)$

Étape 2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x - 3)$

Étape 2.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Étape 2.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.2.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Étape 2.2.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = - 2 \cdot - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} - 2 x \cdot - 3 - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x - 3 (- 2 x) - 3 \cdot - 3$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x - 3 \cdot - 3$

Étape 2.2.4.1.6

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 6 x + 6 x + 9$

Étape 2.2.4.2

Additionnez $6 x$ et $6 x$ .

$3 x^{2} + x - 19 = 4 x^{2} + 12 x + 9$

Étape 2.3

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.1

Soustrayez $4 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} = 12 x + 9$

Étape 2.3.2

Soustrayez $12 x$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + x - 19 - 4 x^{2} - 12 x = 9$

Étape 2.3.3

Soustrayez $4 x^{2}$ de $3 x^{2}$ .

$- x^{2} + x - 19 - 12 x = 9$

Étape 2.3.4

Soustrayez $12 x$ de $x$ .

$- x^{2} - 11 x - 19 = 9$

Étape 2.4

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} - 11 x - 19 - 9 = 0$

Étape 2.5

Soustrayez $9$ de $- 19$ .

$- x^{2} - 11 x - 28 = 0$

Étape 2.6

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.6.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2} - 11 x - 28$ .

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Étape 2.6.1.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) - 11 x - 28 = 0$

Étape 2.6.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 11 x$ .

$- (x^{2}) - (11 x) - 28 = 0$

Étape 2.6.1.3

Réécrivez $- 28$ comme $- 1 (28)$ .

$- (x^{2}) - (11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Étape 2.6.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (11 x)$ .

$- (x^{2} + 11 x) - 1 \cdot 28 = 0$

Étape 2.6.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} + 11 x) - 1 (28)$ .

$- (x^{2} + 11 x + 28) = 0$

Étape 2.6.2

Factorisez.

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Étape 2.6.2.1

Factorisez $x^{2} + 11 x + 28$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.6.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $28$ et dont la somme est $11$ .

$4, 7$

Étape 2.6.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- ((x + 4) (x + 7)) = 0$

Étape 2.6.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- (x + 4) (x + 7) = 0$

Étape 2.7

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 2.8

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.8.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.8.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.9

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.9.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 2.9.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 2.10

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- (x + 4) (x + 7) = 0$ vraie.

$x = - 4, - 7$