Algèbre Exemples

$\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur de la fraction par $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$ par $\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)}$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1)} \cdot \frac{1 + \frac{1}{x - 1}}{1 + \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 1.2

Associez.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x - 1})}{(x - 1) (x^{2} - 1) (1 + \frac{1}{x^{2} - 1})}$

Étape 2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3

Simplifiez en annulant.

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x - 1}}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x - 1) (x^{2} - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 1$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $x^{2} - 1$ à partir de $(x - 1) (x^{2} - 1)$ .

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + (x^{2} - 1) (x - 1) \frac{1}{x^{2} - 1}}$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1

Développez $(x - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.2.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.3

Multipliez $x^{3} - x - x^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x^{2} - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.4

Additionnez $- x^{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - x + 0 + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.5

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - x + 1 - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x^{3} - x + 0}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.7

Additionnez $x^{3} - x$ et $0$ .

$\frac{x^{3} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.8

Réécrivez $x^{3} - x$ en forme factorisée.

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Étape 4.8.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - x$ .

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Étape 4.8.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - x}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.8.1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.8.1.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{x (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.8.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x (x^{2} - 1^{2})}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 4.8.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1

Développez $(x - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x \cdot x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1} x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.2.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{1 + 2} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.2.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} + x \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - 1 \cdot x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.2.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.2.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} - 1 \cdot - 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{(x^{3} - x - x^{2} + 1) \cdot 1 + x - 1}$

Étape 5.3

Multipliez $x^{3} - x - x^{2} + 1$ par $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x - x^{2} + 1 + x - 1}$

Étape 5.4

Additionnez $- x$ et $x$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 + 0 - 1}$

Étape 5.5

Additionnez $x^{3}$ et $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 1 - 1}$

Étape 5.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2} + 0}$

Étape 5.7

Additionnez $x^{3} - x^{2}$ et $0$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{3} - x^{2}}$

Étape 5.8

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} - x^{2}$ .

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Étape 5.8.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x - x^{2}}$

Étape 5.8.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

Étape 5.8.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x (x + 1) (x - 1)}{x^{2} (x - 1)}$

Étape 6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x^{2} (x - 1)}$

Étape 6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} (x - 1)$ .

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Étape 6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x ((x + 1) (x - 1))}{x (x (x - 1))}$

Étape 6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x + 1) (x - 1)}{x (x - 1)}$

Étape 6.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x + 1}{x}$