Algèbre Exemples

$\ln (x - \frac{7}{2}) + \ln (14) = 2 \ln (x)$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((x - \frac{7}{2}) \cdot 14) = 2 \ln (x)$

Étape 1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (x \cdot 14 - \frac{7}{2} \cdot 14) = 2 \ln (x)$

Étape 1.3

Déplacez $14$ à gauche de $x$ .

$\ln (14 \cdot x - \frac{7}{2} \cdot 14) = 2 \ln (x)$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{2}$ dans le numérateur.

$\ln (14 \cdot x + \frac{- 7}{2} \cdot 14) = 2 \ln (x)$

Étape 1.4.2

Factorisez $2$ à partir de $14$ .

$\ln (14 \cdot x + \frac{- 7}{2} \cdot (2 (7))) = 2 \ln (x)$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun.

$\ln (14 \cdot x + \frac{- 7}{2} \cdot (2 \cdot 7)) = 2 \ln (x)$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression.

$\ln (14 \cdot x - 7 \cdot 7) = 2 \ln (x)$

Étape 1.5

Multipliez $- 7$ par $7$ .

$\ln (14 x - 49) = 2 \ln (x)$

Étape 2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (14 x - 49) = \ln (x^{2})$

Étape 3

Pour que l’équation soit égale, l’argument des logarithmes des deux côtés de l’équation doit être égal.

$14 x - 49 = x^{2}$

Étape 4

Résolvez $x$ .

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Étape 4.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$14 x - 49 - x^{2} = 0$

Étape 4.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 4.2.1

Factorisez $- 1$ à partir de $14 x - 49 - x^{2}$ .

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Étape 4.2.1.1

Remettez l’expression dans l’ordre.

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Étape 4.2.1.1.1

Déplacez $- 49$ .

$14 x - x^{2} - 49 = 0$

Étape 4.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $14 x$ et $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 14 x - 49 = 0$

Étape 4.2.1.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + 14 x - 49 = 0$

Étape 4.2.1.3

Factorisez $- 1$ à partir de $14 x$ .

$- (x^{2}) - (- 14 x) - 49 = 0$

Étape 4.2.1.4

Réécrivez $- 49$ comme $- 1 (49)$ .

$- (x^{2}) - (- 14 x) - 1 \cdot 49 = 0$

Étape 4.2.1.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - (- 14 x)$ .

$- (x^{2} - 14 x) - 1 \cdot 49 = 0$

Étape 4.2.1.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - 14 x) - 1 (49)$ .

$- (x^{2} - 14 x + 49) = 0$

Étape 4.2.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.2.2.1

Réécrivez $49$ comme $7^{2}$ .

$- (x^{2} - 14 x + 7^{2}) = 0$

Étape 4.2.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$14 x = 2 \cdot x \cdot 7$

Étape 4.2.2.3

Réécrivez le polynôme.

$- (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 7 + 7^{2}) = 0$

Étape 4.2.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 7$ .

$- {(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- {(x - 7)}^{2} = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- {(x - 7)}^{2} = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- {(x - 7)}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{{(x - 7)}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.2.2

Divisez ${(x - 7)}^{2}$ par $1$ .

${(x - 7)}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 4.3.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

${(x - 7)}^{2} = 0$

Étape 4.4

Définissez le $x - 7$ égal à $0$ .

$x - 7 = 0$

Étape 4.5

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 7$