Algèbre Exemples

$\frac{x}{x^{2} + 1} \leq 1$

Étape 1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \leq 0$

Étape 2

Simplifiez $\frac{x}{x^{2} + 1} - 1$ .

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Étape 2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} - 1 \cdot \frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.2

Associez $- 1$ et $\frac{x^{2} + 1}{x^{2} + 1}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 1} + \frac{- (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x - (x^{2} + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - x^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- x^{2} + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{2}$ .

$\frac{- (x^{2}) + x - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $x$ .

$\frac{- (x^{2}) - 1 (- x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.8

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x) - 1 (1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{2} - x) - 1 (1)$ .

$\frac{- (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.10

Réécrivez $- (x^{2} - x + 1)$ comme $- 1 (x^{2} - x + 1)$ .

$\frac{- 1 (x^{2} - x + 1)}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 2.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Étape 3

Déterminez toutes les valeurs où l’expression passe de négative à positive en définissant chaque facteur égal à $0$ et en résolvant.

$x^{2} - x + 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 4

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 5

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 1$ et $c = 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 6

Simplifiez

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Étape 6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $4$ de $1$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (3)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 6.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Étape 7

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Étape 8

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 9

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 10

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 11

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 11.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 12

Résolvez pour chaque facteur afin de déterminer les valeurs où l’expression de la valeur absolue passe de négative à positive.

$x = \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$x = i, - i$

Étape 13

Le coefficient directeur ne peut pas être déterminé car $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ n’est pas un polynôme.

Pas un polynôme

Étape 14

Comme il n’y a pas d’abscisse à l’origine réelle et comme le coefficient directeur est positif, la parabole ouvre vers le haut et $- \frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} + 1}$ est toujours supérieur à $0$ .

Aucune solution