Algèbre Exemples

$\frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}} = x^{a} \cdot y^{b}$

Étape 1

Réécrivez l’équation comme $x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}}$ .

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}}$

Étape 2

Réduisez l’expression $\frac{x^{2} {(y^{3})}^{4}}{x y^{5}}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} {(y^{3})}^{4}$ .

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x (x {(y^{3})}^{4})}{x y^{5}}$

Étape 2.2

Factorisez $x$ à partir de $x y^{5}$ .

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x (x {(y^{3})}^{4})}{x (y^{5})}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun.

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x (x {(y^{3})}^{4})}{x y^{5}}$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression.

$x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}$ par $y^{b}$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $x^{a} \cdot y^{b} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}$ par $y^{b}$ .

$\frac{x^{a} \cdot y^{b}}{y^{b}} = \frac{\frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}}{y^{b}}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $y^{b}$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{a} \cdot y^{b}}{y^{b}} = \frac{\frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}}{y^{b}}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $x^{a}$ par $1$ .

$x^{a} = \frac{\frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}}}{y^{b}}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5}} \cdot \frac{1}{y^{b}}$

Étape 3.3.2

Associez.

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4} \cdot 1}{y^{5} y^{b}}$

Étape 3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4} \cdot 1}{y^{5 + b}}$

Étape 3.3.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $x {(y^{3})}^{4}$ par $1$ .

$x^{a} = \frac{x {(y^{3})}^{4}}{y^{5 + b}}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{4}$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{a} = \frac{x y^{3 \cdot 4}}{y^{5 + b}}$

Étape 3.3.4.2.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$x^{a} = \frac{x y^{12}}{y^{5 + b}}$

Étape 3.3.4.3

Annulez le facteur commun à $y^{12}$ et $y^{5 + b}$ .

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Étape 3.3.4.3.1

Factorisez $y^{5 + b}$ à partir de $x y^{12}$ .

$x^{a} = \frac{y^{5 + b} (x y^{12 - (5 + b)})}{y^{5 + b}}$

Étape 3.3.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.3.4.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$x^{a} = \frac{y^{5 + b} (x y^{12 - (5 + b)})}{y^{5 + b} \cdot 1}$

Étape 3.3.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{a} = \frac{y^{5 + b} (x y^{12 - (5 + b)})}{y^{5 + b} \cdot 1}$

Étape 3.3.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{a} = \frac{x y^{12 - (5 + b)}}{1}$

Étape 3.3.4.3.2.4

Divisez $x y^{12 - (5 + b)}$ par $1$ .

$x^{a} = x y^{12 - (5 + b)}$

Étape 3.3.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$x^{a} = x y^{12 - 1 \cdot 5 - b}$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$x^{a} = x y^{12 - 5 - b}$

Étape 3.3.6

Soustrayez $5$ de $12$ .

$x^{a} = x y^{7 - b}$

Étape 4

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (x^{a}) = \ln (x y^{7 - b})$

Étape 5

Développez $\ln (x^{a})$ en déplaçant $a$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = \ln (x y^{7 - b})$

Étape 6

Développez le côté droit.

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Étape 6.1

Réécrivez $\ln (x y^{7 - b})$ comme $\ln (x) + \ln (y^{7 - b})$ .

$a \ln (x) = \ln (x) + \ln (y^{7 - b})$

Étape 6.2

Développez $\ln (y^{7 - b})$ en déplaçant $7 - b$ hors du logarithme.

$a \ln (x) = \ln (x) + (7 - b) \ln (y)$

Étape 7

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.1

Appliquez la propriété distributive.

$a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$

Étape 8

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$a \ln (x) - \ln (x) - 7 \ln (y) + b \ln (y) = 0$

Étape 9

Déplacez tous les termes ne contenant pas $a$ du côté droit de l’équation.

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Étape 9.1

Ajoutez $\ln (x)$ aux deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) - 7 \ln (y) + b \ln (y) = \ln (x)$

Étape 9.2

Ajoutez $7 \ln (y)$ aux deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) + b \ln (y) = \ln (x) + 7 \ln (y)$

Étape 9.3

Soustrayez $b \ln (y)$ des deux côtés de l’équation.

$a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$

Étape 10

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$ par $\ln (x)$ et simplifiez.

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Étape 10.1

Divisez chaque terme dans $a \ln (x) = \ln (x) + 7 \ln (y) - b \ln (y)$ par $\ln (x)$ .

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Étape 10.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 10.2.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 10.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{a \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Étape 10.2.1.2

Divisez $a$ par $1$ .

$a = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Étape 10.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 10.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.1.1

Annulez le facteur commun de $\ln (x)$ .

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Étape 10.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$a = \frac{\ln (x)}{\ln (x)} + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Étape 10.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$a = 1 + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{- b \ln (y)}{\ln (x)}$

Étape 10.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$a = 1 + \frac{7 \ln (y)}{\ln (x)} - \frac{b \ln (y)}{\ln (x)}$