Algèbre Exemples

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Étape 1

Factorisez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{x + 4}{x^{2} - 1^{2}} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$

Étape 2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$(x + 1) (x - 1), 1, x - 1$

Étape 2.2

Le plus petit multiple commun est le plus petit nombre positif dans lequel tous les nombres peuvent être divisés parfaitement.

1. Indiquez les facteurs premiers de chaque nombre.

2. Multipliez chaque facteur le plus grand nombre de fois qu’il apparaît dans un nombre.

Étape 2.3

Le nombre $1$ n’est pas un nombre premier car il ne comporte qu’un facteur positif, qui est lui-même.

Pas premier

Étape 2.4

Le plus petit multiple commun de $1, 1, 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs premiers le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un nombre ou l’autre.

$1$

Étape 2.5

Le facteur pour $x + 1$ est $x + 1$ lui-même.

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.6

Le facteur pour $x - 1$ est $x - 1$ lui-même.

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ se produit $1$ fois.

Étape 2.7

Le plus petit multiple commun de $x + 1, x - 1, x - 1$ est le résultat de la multiplication de tous les facteurs le plus grand nombre de fois qu’ils apparaissent dans un terme ou l’autre.

$(x + 1) (x - 1)$

Étape 3

Multiplier chaque terme dans $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ par $(x + 1) (x - 1)$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} - 5 = \frac{1}{x - 1}$ par $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun de $(x + 1) (x - 1)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x + 4}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$x + 4 - 5 ((x + 1) (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.2

Développez $(x + 1) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x + 4 - 5 (x (x - 1) + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$x + 4 - 5 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - x + x - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3.2

Additionnez $- x$ et $x$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} + 0 - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.3.3

Additionnez $x^{2}$ et $0$ .

$x + 4 - 5 (x^{2} - 1) = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x + 4 - 5 x^{2} - 5 \cdot - 1 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.1.5

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$x + 4 - 5 x^{2} + 5 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.2.2

Additionnez $4$ et $5$ .

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x + 1) (x - 1))$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x + 1) (x - 1)$ .

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$x - 5 x^{2} + 9 = \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1))$

Étape 3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$x - 5 x^{2} + 9 = x + 1$

Étape 4

Résolvez l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déplacez tous les termes contenant $x$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Soustrayez $x$ des deux côtés de l’équation.

$x - 5 x^{2} + 9 - x = 1$

Étape 4.1.2

Associez les termes opposés dans $x - 5 x^{2} + 9 - x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$- 5 x^{2} + 9 + 0 = 1$

Étape 4.1.2.2

Additionnez $- 5 x^{2} + 9$ et $0$ .

$- 5 x^{2} + 9 = 1$

Étape 4.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$- 5 x^{2} = 1 - 9$

Étape 4.2.2

Soustrayez $9$ de $1$ .

$- 5 x^{2} = - 8$

Étape 4.3

Divisez chaque terme dans $- 5 x^{2} = - 8$ par $- 5$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Divisez chaque terme dans $- 5 x^{2} = - 8$ par $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 5 x^{2}}{- 5} = \frac{- 8}{- 5}$

Étape 4.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 8}{- 5}$

Étape 4.3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$x^{2} = \frac{8}{5}$

Étape 4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{\frac{8}{5}}$

Étape 4.5

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{8}{5}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{8}{5}}$ comme $\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{8}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.5.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1

Réécrivez $8$ comme $2^{2} \cdot 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.2.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{4 (2)}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.5.2.1.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.5.2.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.5.3

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$

Étape 4.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{5}}$ par $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{\sqrt{5} \sqrt{5}}$

Étape 4.5.4.2

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} \sqrt{5}}$

Étape 4.5.4.3

Élevez $\sqrt{5}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1} {\sqrt{5}}^{1}}$

Étape 4.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{1 + 1}}$

Étape 4.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{\sqrt{5}}^{2}}$

Étape 4.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{5}}^{2}$ comme $5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{5}$ comme $5^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{{(5^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5^{1}}$

Étape 4.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{5}}{5}$

Étape 4.5.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.5.5.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{2 \sqrt{5 \cdot 2}}{5}$

Étape 4.5.5.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$x = \pm \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Étape 4.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Étape 4.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Étape 4.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \frac{2 \sqrt{10}}{5}, - \frac{2 \sqrt{10}}{5}$

Forme décimale :

$x = 1.26491106 \dots, - 1.26491106 \dots$