Algèbre Exemples

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y + 2 = 0$

Étape 1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$

Étape 2

Complétez le carré pour $x^{2} - \frac{2}{3} x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Associez $x$ et $\frac{2}{3}$ .

$x^{2} - \frac{x \cdot 2}{3}$

Étape 2.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - \frac{2 x}{3}$

Étape 2.2

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - \frac{2}{3}$

$c = 0$

Étape 2.3

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 2.4

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 2.4.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.1

Annulez le facteur commun à $- 1$ et $1$ .

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Étape 2.4.2.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$d = \frac{- 1 (1) \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{- 1 \cdot 1 \frac{2}{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- \frac{2}{3}}{2}$

Étape 2.4.2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$d = - \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$d = \frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$d = \frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$d = \frac{- 1}{3}$

Étape 2.4.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{1}{3}$

Étape 2.5

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 2.5.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- \frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.5.2.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 {(\frac{2}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{2}{3}$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{2^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 \frac{4}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.5

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{1 (\frac{4}{9})}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.1.6

Multipliez $\frac{4}{9}$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{4}{9}}{4}$

Étape 2.5.2.1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.5.2.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.5.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$e = 0 - (\frac{4}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Étape 2.5.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$e = 0 - \frac{1}{9}$

Étape 2.5.2.2

Soustrayez $\frac{1}{9}$ de $0$ .

$e = - \frac{1}{9}$

Étape 2.6

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$

Étape 3

Remplacez $x^{2} - \frac{2}{3} x$ par ${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} - \frac{1}{9} + y^{2} - 3 y = - 2$

Étape 4

Déplacez $- \frac{1}{9}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{1}{9}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + y^{2} - 3 y = - 2 + \frac{1}{9}$

Étape 5

Complétez le carré pour $y^{2} - 3 y$ .

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Étape 5.1

Utilisez la forme $a x^{2} + b x + c$ pour déterminer les valeurs de $a$ , $b$ et $c$ .

$a = 1$

$b = - 3$

$c = 0$

Étape 5.2

Étudiez la forme du sommet d’une parabole.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Étape 5.3

Déterminez la valeur de $d$ en utilisant la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Étape 5.3.1

Remplacez les valeurs de $a$ et $b$ dans la formule $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 3}{2 \cdot 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$d = \frac{- 3}{2}$

Étape 5.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$d = - \frac{3}{2}$

Étape 5.4

Déterminez la valeur de $e$ en utilisant la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Étape 5.4.1

Remplacez les valeurs de $c$ , $b$ et $a$ dans la formule $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 3)}^{2}}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$e = 0 - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Étape 5.4.2.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$e = 0 - \frac{9}{4}$

Étape 5.4.2.2

Soustrayez $\frac{9}{4}$ de $0$ .

$e = - \frac{9}{4}$

Étape 5.5

Remplacez les valeurs de $a$ , $d$ et $e$ dans la forme du sommet ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ .

${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$

Étape 6

Remplacez $y^{2} - 3 y$ par ${(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$ dans l’équation $x^{2} + y^{2} - \frac{2}{3} x - 3 y = - 2$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{9}{4} = - 2 + \frac{1}{9}$

Étape 7

Déplacez $- \frac{9}{4}$ du côté droit de l’équation en ajoutant $\frac{9}{4}$ des deux côtés.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = - 2 + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Étape 8

Simplifiez $- 2 + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$ .

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Étape 8.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 8.1.1

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2}{1} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Étape 8.1.2

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{36}{36}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{36}{36} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Étape 8.1.3

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{36}{36}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{1}{9} + \frac{9}{4}$

Étape 8.1.4

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 8.1.5

Multipliez $\frac{1}{9}$ par $\frac{4}{4}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9}{4}$

Étape 8.1.6

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9}{4} \cdot \frac{9}{9}$

Étape 8.1.7

Multipliez $\frac{9}{4}$ par $\frac{9}{9}$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{9 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

Étape 8.1.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 4$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{4 \cdot 9} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

Étape 8.1.9

Multipliez $4$ par $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9 \cdot 9}{4 \cdot 9}$

Étape 8.1.10

Multipliez $4$ par $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36}{36} + \frac{4}{36} + \frac{9 \cdot 9}{36}$

Étape 8.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 2 \cdot 36 + 4 + 9 \cdot 9}{36}$

Étape 8.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.3.1

Multipliez $- 2$ par $36$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 72 + 4 + 9 \cdot 9}{36}$

Étape 8.3.2

Multipliez $9$ par $9$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 72 + 4 + 81}{36}$

Étape 8.4

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 8.4.1

Additionnez $- 72$ et $4$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{- 68 + 81}{36}$

Étape 8.4.2

Additionnez $- 68$ et $81$ .

${(x - \frac{1}{3})}^{2} + {(y - \frac{3}{2})}^{2} = \frac{13}{36}$