Algèbre Exemples

$x^{4} - 4 x^{3} - x^{2} + 16 x - 12$

Étape 1

Regroupez les termes.

$x^{4} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Étape 2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4} - x^{2}$ .

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Étape 2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - x^{2} - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Étape 2.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Étape 2.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1$ .

$x^{2} (x^{2} - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Étape 3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 1^{2}) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Étape 4

Factorisez.

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Étape 4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$x^{2} ((x + 1) (x - 1)) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Étape 4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) - 4 x^{3} + 16 x - 12$

Étape 5

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{3} + 16 x - 12$ .

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Étape 5.1

Factorisez $4$ à partir de $- 4 x^{3}$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 16 x - 12$

Étape 5.2

Factorisez $4$ à partir de $16 x$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) - 12$

Étape 5.3

Factorisez $4$ à partir de $- 12$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3}) + 4 (4 x) + 4 (- 3)$

Étape 5.4

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{3}) + 4 (4 x)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$

Étape 5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (- x^{3} + 4 x) + 4 (- 3)$ .

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (- x^{3} + 4 x - 3)$

Étape 6

Factorisez.

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Étape 6.1

Factorisez $- x^{3} + 4 x - 3$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1$

Étape 6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3$

Étape 6.1.3

Remplacez $1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $1$ est une racine du polynôme.

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Étape 6.1.3.1

Remplacez $1$ dans le polynôme.

$- 1^{3} + 4 \cdot 1 - 3$

Étape 6.1.3.2

Élevez $1$ à la puissance $3$ .

$- 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Étape 6.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 + 4 \cdot 1 - 3$

Étape 6.1.3.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 1 + 4 - 3$

Étape 6.1.3.5

Additionnez $- 1$ et $4$ .

$3 - 3$

Étape 6.1.3.6

Soustrayez $3$ de $3$ .

$0$

Étape 6.1.4

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} + 4 x - 3}{x - 1}$

Étape 6.1.5

Divisez $- x^{3} + 4 x - 3$ par $x - 1$ .

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Étape 6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$4 x$

$3$

Étape 6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$

Étape 6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} + x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

Étape 6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Étape 6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$

Étape 6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Étape 6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{2} + x$

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Étape 6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$

Étape 6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	-	$x$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Étape 6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$

Étape 6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							+	$3 x$	-	$3$

Étape 6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 x - 3$

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$

Étape 6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$x$	+	$3$
$x$	-	$1$	-	$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	+	$4 x$	-	$3$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	+	$4 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$
							+	$3 x$	-	$3$
							-	$3 x$	+	$3$
										$0$

Étape 6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} - x + 3$

Étape 6.1.6

Écrivez $- x^{3} + 4 x - 3$ comme un ensemble de facteurs.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 ((x - 1) (- x^{2} - x + 3))$

Étape 6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Étape 7

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $x^{2} (x + 1) (x - 1)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + 4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$

Étape 7.2

Factorisez $x - 1$ à partir de $4 (x - 1) (- x^{2} - x + 3)$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$

Étape 7.3

Factorisez $x - 1$ à partir de $(x - 1) (x^{2} (x + 1)) + (x - 1) (4 (- x^{2} - x + 3))$ .

$(x - 1) (x^{2} (x + 1) + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Étape 8

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (x^{2} x + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Étape 9

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 9.1

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 9.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x - 1) (x^{2} x^{1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Étape 9.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x - 1) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Étape 9.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} \cdot 1 + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Étape 10

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2} - x + 3))$

Étape 11

Appliquez la propriété distributive.

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} + 4 (- x^{2}) + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Étape 12

Simplifiez

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Étape 12.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} + 4 (- x) + 4 \cdot 3)$

Étape 12.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 4 \cdot 3)$

Étape 12.3

Multipliez $4$ par $3$ .

$(x - 1) (x^{3} + x^{2} - 4 x^{2} - 4 x + 12)$

Étape 13

Soustrayez $4 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12)$

Étape 14

Factorisez.

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Étape 14.1

Réécrivez $x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 12$ en forme factorisée.

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Étape 14.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 14.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 1) ((x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 12)$

Étape 14.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 1) (x^{2} (x - 3) - 4 (x - 3))$

Étape 14.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 3$ .

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 4))$

Étape 14.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$(x - 1) ((x - 3) (x^{2} - 2^{2}))$

Étape 14.1.4

Factorisez.

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Étape 14.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x - 1) ((x - 3) ((x + 2) (x - 2)))$

Étape 14.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) ((x - 3) (x + 2) (x - 2))$

Étape 14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x - 1) (x - 3) (x + 2) (x - 2)$