Algèbre Exemples

$\frac{1}{4} | x - 3 | + 2 < 1$

Étape 1

Écrivez $\frac{1}{4} \cdot | x - 3 | + 2 < 1$ comme fonction définie par morceaux.

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Étape 1.1

Pour déterminer l’intervalle pour la première partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est non négatif.

$x - 3 \geq 0$

Étape 1.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x \geq 3$

Étape 1.3

Dans la partie où $x - 3$ est non négatif, retirez la valeur absolue.

$\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$

Étape 1.4

Pour déterminer l’intervalle pour la deuxième partie, déterminez où l’intérieur de la valeur absolue est négatif.

$x - 3 < 0$

Étape 1.5

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’inégalité.

$x < 3$

Étape 1.6

Dans la partie où $x - 3$ est négatif, retirez la valeur absolue et multipliez par $- 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$

Étape 1.7

Écrivez comme fonction définie par morceaux.

${\begin{cases} \frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (x - 3) + 2 < 1$ .

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Étape 1.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.8.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.1.2

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot - 3 + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.1.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} - \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.8.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{- 3 + 8}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.8.5.2

Additionnez $- 3$ et $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9

Simplifiez $\frac{1}{4} \cdot (- (x - 3)) + 2 < 1$ .

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Étape 1.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.9.1.1

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x - - 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} \cdot (- x + 3) + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.1.3

Appliquez la propriété distributive.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ \frac{1}{4} (- x) + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.1.4

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{1}{4} \cdot 3 + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.1.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $3$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.2

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + 2 \cdot \frac{4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.3

Associez $2$ et $\frac{4}{4}$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 2 \cdot 4}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.9.5.1

Multipliez $2$ par $4$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{3 + 8}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 1.9.5.2

Additionnez $3$ et $8$ .

${\begin{cases} \frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1 & x \geq 3 \\ - \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1 & x < 3 \end{cases}$

Étape 2

Résolvez $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ quand $x \geq 3$ .

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Étape 2.1

Résolvez $\frac{x}{4} + \frac{5}{4} < 1$ pour $x$ .

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Étape 2.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 2.1.1.1

Soustrayez $\frac{5}{4}$ des deux côtés de l’inégalité.

$\frac{x}{4} < 1 - \frac{5}{4}$

Étape 2.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{5}{4}$

Étape 2.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{x}{4} < \frac{4 - 5}{4}$

Étape 2.1.1.4

Soustrayez $5$ de $4$ .

$\frac{x}{4} < \frac{- 1}{4}$

Étape 2.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{x}{4} < - \frac{1}{4}$

Étape 2.1.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$x < - 1$

Étape 2.2

Déterminez l’intersection de $x < - 1$ et $x \geq 3$ .

Aucune solution

Étape 3

Résolvez $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ quand $x < 3$ .

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Étape 3.1

Résolvez $- \frac{x}{4} + \frac{11}{4} < 1$ pour $x$ .

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Étape 3.1.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $x$ du côté droit de l’inégalité.

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Étape 3.1.1.1

Soustrayez $\frac{11}{4}$ des deux côtés de l’inégalité.

$- \frac{x}{4} < 1 - \frac{11}{4}$

Étape 3.1.1.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{x}{4} < \frac{4}{4} - \frac{11}{4}$

Étape 3.1.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{x}{4} < \frac{4 - 11}{4}$

Étape 3.1.1.4

Soustrayez $11$ de $4$ .

$- \frac{x}{4} < \frac{- 7}{4}$

Étape 3.1.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{x}{4} < - \frac{7}{4}$

Étape 3.1.2

Comme l’expression de chaque côté de l’équation a le même dénominateur, les numérateurs doivent être égaux.

$- x < - 7$

Étape 3.1.3

Divisez chaque terme dans $- x < - 7$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.3.1

Divisez chaque terme dans $- x < - 7$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} > \frac{- 7}{- 1}$

Étape 3.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} > \frac{- 7}{- 1}$

Étape 3.1.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x > \frac{- 7}{- 1}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.3.1

Divisez $- 7$ par $- 1$ .

$x > 7$

Étape 3.2

Déterminez l’intersection de $x > 7$ et $x < 3$ .

Aucune solution

Étape 4

Déterminez l’union des solutions.

Aucune solution