Algèbre Exemples

$\log_{2} (x^{2} + 2) - \log_{2} (3 x + 6) = 0$

Étape 1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 6}) = 0$

Étape 1.2

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 6$ .

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Étape 1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x) + 6}) = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 x + 3 \cdot 2}) = 0$

Étape 1.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$

Étape 2

Réécrivez $\log_{2} (\frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b$ $\neq$ $1$ , $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$2^{0} = \frac{x^{2} + 2}{3 (x + 2)}$

Étape 3

Multipliez en croix pour retirer la fraction.

$x^{2} + 2 = 2^{0} (3 (x + 2))$

Étape 4

Simplifiez $2^{0} (3 (x + 2))$ .

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Étape 4.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$x^{2} + 2 = 1 (3 (x + 2))$

Étape 4.1.2

Multipliez $3 (x + 2)$ par $1$ .

$x^{2} + 2 = 3 (x + 2)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} + 2 = 3 x + 3 \cdot 2$

Étape 4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$x^{2} + 2 = 3 x + 6$

Étape 5

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} + 2 - 3 x = 6$

Étape 6

Factorisez $x^{2} + 2 - 3 x$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 6.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $2$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 2, - 1$

Étape 6.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 2) (x - 1) = 6$

Étape 7

Simplifiez $(x - 2) (x - 1)$ .

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Étape 7.1

Développez $(x - 2) (x - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 7.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$x (x - 1) - 2 (x - 1) = 6$

Étape 7.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 (x - 1) = 6$

Étape 7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$x \cdot x + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Étape 7.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 7.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 1 - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Étape 7.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$x^{2} - 1 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Étape 7.2.1.3

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$x^{2} - x - 2 x - 2 \cdot - 1 = 6$

Étape 7.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$x^{2} - x - 2 x + 2 = 6$

Étape 7.2.2

Soustrayez $2 x$ de $- x$ .

$x^{2} - 3 x + 2 = 6$

Étape 8

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} - 3 x + 2 - 6 = 0$

Étape 9

Soustrayez $6$ de $2$ .

$x^{2} - 3 x - 4 = 0$

Étape 10

Factorisez $x^{2} - 3 x - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x + 1) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 12

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 13

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 4, - 1$