Algèbre Exemples

$f (x) = \log (2 x)$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \log (2 x)$ comme une équation.

$y = \log (2 x)$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \log (2 y)$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\log (2 y) = x$ .

$\log (2 y) = x$

Étape 3.2

Réécrivez $\log (2 y) = x$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$10^{x} = 2 y$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y = 10^{x}$ .

$2 y = 10^{x}$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $2 y = 10^{x}$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 10^{x}$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{10^{x}}{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{10^{x}}{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{10^{x}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{x}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{10^{x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \log (2 x)$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\log (2 x))$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log (2 x)) = \frac{10^{\log (2 x)}}{2}$

Étape 5.2.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f^{- 1} (\log (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\log (2 x)) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\log (2 x)) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{10^{x}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{10^{x}}{2}) = \log (2 (\frac{10^{x}}{2}))$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{10^{x}}{2}) = \log (2 (\frac{10^{x}}{2}))$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{10^{x}}{2}) = \log (10^{x})$

Étape 5.3.4

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x$ de l’exposant.

$f (\frac{10^{x}}{2}) = x \log (10)$

Étape 5.3.5

La base logarithmique $10$ de $10$ est $1$ .

$f (\frac{10^{x}}{2}) = x \cdot 1$

Étape 5.3.6

Multipliez $x$ par $1$ .

$f (\frac{10^{x}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{10^{x}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \log (2 x)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{10^{x}}{2}$