Algèbre Exemples

$\frac{9 x^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \div \frac{9 x^{2} + 12 x + 3}{3 x^{2} - 6 x + 3}$

Étape 1

Pour diviser par une fraction, multipliez par sa réciproque.

$\frac{9 x^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1

Réécrivez $9 x^{2}$ comme ${(3 x)}^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 1}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 2.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{{(3 x)}^{2} - 1^{2}}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 3 x$ et $b = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x^{2} - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2} - 12 x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x) - 12 x} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.1.2

Factorisez $12 x$ à partir de $- 12 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x) + 12 x (- 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.1.3

Factorisez $12 x$ à partir de $12 x (x) + 12 x (- 1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun à $3 x^{2} - 6 x + 3$ et $9 x^{2} + 12 x + 3$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2}) - 6 x + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.2.2

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2}) + 3 (- 2 x) + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.2.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2}) + 3 (- 2 x)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.2.4

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x) + 3 \cdot 1}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.2.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (x^{2} - 2 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{9 x^{2} + 12 x + 3}$

Étape 3.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.6.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2}) + 12 x + 3}$

Étape 3.2.6.2

Factorisez $3$ à partir de $12 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2}) + 3 (4 x) + 3}$

Étape 3.2.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{2}) + 3 (4 x)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x) + 3}$

Étape 3.2.6.4

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x) + 3 (1)}$

Étape 3.2.6.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{2} + 4 x) + 3 (1)$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 3.2.6.6

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{3 (x^{2} - 2 x + 1)}{3 (3 x^{2} + 4 x + 1)}$

Étape 3.2.6.7

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Étape 4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 4.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 x + 1^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Étape 4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 4.3

Réécrivez le polynôme.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Étape 4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 4 x + 1}$

Étape 5

Factorisez par regroupement.

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Étape 5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 1 = 3$ et dont la somme est $b = 4$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 4 (x) + 1}$

Étape 5.1.2

Réécrivez $4$ comme $1$ plus $3$

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + (1 + 3) x + 1}$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + 1 x + 3 x + 1}$

Étape 5.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{3 x^{2} + x + 3 x + 1}$

Étape 5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{(3 x^{2} + x) + 3 x + 1}$

Étape 5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{x (3 x + 1) + 1 (3 x + 1)}$

Étape 5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x + 1$ .

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1)}{12 x (x - 1)} \cdot \frac{{(x - 1)}^{2}}{(3 x + 1) (x + 1)}$

Étape 6

Associez.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) ((3 x + 1) (x + 1))}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $3 x + 1$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{(3 x + 1) (3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) ((3 x + 1) (x + 1))}$

Étape 7.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}}{12 x (x - 1) (x + 1)}$

Étape 8

Annulez le facteur commun à ${(x - 1)}^{2}$ et $x - 1$ .

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Étape 8.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $(3 x - 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{12 x (x - 1) (x + 1)}$

Étape 8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $12 x (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{(x - 1) (12 x (x + 1))}$

Étape 8.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(x - 1) ((3 x - 1) (x - 1))}{(x - 1) (12 x (x + 1))}$

Étape 8.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(3 x - 1) (x - 1)}{12 x (x + 1)}$